Negatif Binom Dağılımı Nedir?

Negatif binom dağılımı olasılık dağılımı ayrık rasgele değişkenlerle kullanılır. Bu tür bir dağıtım, önceden belirlenmiş sayıda başarı elde etmek için yapılması gereken deneme sayısı ile ilgilidir. Göreceğimiz gibi negatif binom dağılımı, Binom dağılımı. Ayrıca, bu dağılım geometrik dağılımı genelleştirir.

Negatif bir binom dağılımına neden olan ortama ve koşullara bakarak başlayacağız. Bu koşulların çoğu binom ortamına çok benzer.

1. Bernoulli denememiz var. Bu, yaptığımız her denemenin iyi tanımlanmış bir başarı ve başarısızlığa sahip olduğu ve bunların tek sonuç olduğu anlamına gelir.
2. Deneyi kaç kez yaparsak yapalım, başarı olasılığı sabittir. Bu sabit olasılığı bir s.
3. Deney için tekrarlanır X bağımsız denemeler, yani bir denemenin sonucunun bir sonraki denemenin sonucu üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Bu üç koşul, bir binom dağılımındaki koşullarla aynıdır. Fark, bir binom rastgele değişkenin sabit sayıda denemeye sahip olmasıdır n. Sadece değerleri X 0, 1, 2,..., n yani bu sonlu bir dağılımdır.

Negatif bir binom dağılımı, deneme sayısı ile ilgilidir X biz olana kadar olması gereken r başarılar. Numara r denemelere başlamadan önce seçtiğimiz bir tam sayıdır. Rastgele değişken X hala ayrıktır. Ancak, şimdi rastgele değişken değerleri alabilir X = r, r + 1, r + 2,... Bu rastgele değişken, sınırsız bir şekilde sonsuzdur, çünkü elde etmeden önce keyfi olarak uzun zaman alabilir r başarılar.

Negatif bir binom dağılımını anlamamıza yardımcı olmak için bir örnek düşünmeye değer. Diyelim ki adil bir bozuk para çeviriyoruz ve "İlk önce üç kafa alma olasılığımız nedir? X "Bu, negatif bir binom dağılımı gerektiren bir durumdur.

Madeni para döndürme işlemlerinin iki olası sonucu vardır, başarı olasılığı sabit 1 / 2'dir ve denemeler birbirinden bağımsızdır. İlk üç kafaya sahip olma olasılığını X bozuk para çevirir. Bu yüzden jetonu en az üç kez çevirmeliyiz. Ardından üçüncü kafa görünene kadar çevirmeye devam ediyoruz.

Negatif bir binom dağılımıyla ilgili olasılıkları hesaplamak için biraz daha bilgiye ihtiyacımız var. Olasılık kütle fonksiyonunu bilmemiz gerekir.

Negatif bir binom dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu biraz düşünülerek geliştirilebilir. Her denemenin başarı şansı vardır. s. Sadece iki olası sonuç olduğu için, başarısızlık olasılığının sabit olduğu anlamına gelir (1 - p ).

rbaşarılı olmak için xinci ve son dava. Önceki x - 1 deneme tam olarak içermelidir r - 1 başarılar. Bunun gerçekleşme yolu sayısı, kombinasyon sayısı ile verilir:

C (x - 1, r -1) = (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!].

Buna ek olarak bağımsız olaylarımız var ve böylece olasılıklarımızı birlikte çoğaltabiliriz. Tüm bunları bir araya getirerek, olasılık kütle fonksiyonunu elde ederiz

f(x) = C (x - 1, r -1) p^r(1 - p)^{x - r}.

Şimdi bu rastgele değişkenin neden negatif bir binom dağılımına sahip olduğunu anlayacağız. Yukarıda karşılaştığımız kombinasyon sayısı ayarlanarak farklı yazılabilir x - r = k:

(x - 1)! / [(r - 1)! (x - r)!] = (x + k - 1)! / [(R - 1)! k!] = (r + k - 1)(x + k - 2)... (r + 1) (r) /k! = (-1)^k(-r) (- r - 1).. . (- r - (k + 1) / k !.

Burada, bir binom ifadesini (a + b) negatif bir güce yükselttiğimizde kullanılan negatif bir binom katsayısının görünümünü görüyoruz.

Bir dağılımın ortalamasını bilmek önemlidir çünkü dağıtımın merkezini belirtmenin bir yoludur. Bu tip rastgele değişkenin ortalaması beklenen değerine göre verilir ve r / p. Bunu kullanarak bunu dikkatli bir şekilde kanıtlayabiliriz. moment üreten fonksiyon bu dağıtım için.

Sezgi bizi bu ifadeye yönlendirir. Bir dizi deneme yaptığımızı varsayalım n₁ elde edene kadar r başarılar. Ve sonra tekrar yapıyoruz, sadece bu sefer n₂ denemeler. Çok sayıda deneme grubumuz oluncaya kadar buna tekrar tekrar devam ediyoruz. N- = n₁ + n₂ +... +n_k.

Bunların her biri k denemeler içerir r ve toplamda kr başarılar. Eğer N- büyük, o zaman görmeyi bekleriz Np başarılar. Böylece bunları birbirine eşitleriz ve kr = Np.

Biraz cebir yapıyoruz ve buluyoruz N / k = r / p. Bu denklemin sol tarafındaki kısım, her bir denklemimiz için gereken ortalama deneme sayısıdır. k deneme grupları. Başka bir deyişle, bu, denemenin gerçekleştirilmesi için beklenen sayıdadır, böylece toplam r başarılar. Bu tam olarak bulmak istediğimiz beklentidir. Bunun formüle eşit olduğunu görüyoruz r / p.

Negatif binom dağılımının varyansı, moment üretme fonksiyonu kullanılarak da hesaplanabilir. Bunu yaptığımızda, bu dağılımın varyansının aşağıdaki formülle verildiğini görüyoruz:

r (1 - p)/p²

Bu tip rasgele değişken için moment üretme fonksiyonu oldukça karmaşıktır. Anı üreten fonksiyonun beklenen değer E [e^tX]. Bu tanımı olasılık kitle fonksiyonumuzla birlikte kullanarak:

M (t) = E [e^tX] = Σ (x - 1)! / [(R - 1)! (x - r)!] E^tXp^r(1 - p)^{x - r}

Bazı cebirlerden sonra bu M (t) = (pe olur)^t)^r[1- (1- p) e^t]^-r

Yukarıda negatif binom dağılımının birçok yönden binom dağılımına nasıl benzediğini gördük. Bu bağlantıya ek olarak, negatif binom dağılımı geometrik dağılımın daha genel bir versiyonudur.

Geometrik rastgele değişken X ilk başarı gerçekleşmeden önce gerekli deneme sayısını sayar. Bunun tam olarak negatif binom dağılımı olduğunu görmek kolaydır, ancak r eşittir.

Negatif binom dağılımının diğer formülasyonları mevcuttur. Bazı ders kitapları X kadar deneme sayısı olmak r arızalar meydana gelir.

Negatif binom dağılımı ile nasıl çalışılacağını görmek için örnek bir soruna bakacağız. Bir basketbolcunun% 80 serbest atış atıcısı olduğunu varsayalım. Ayrıca, bir serbest atış yapmanın bir sonraki atışı yapmaktan bağımsız olduğunu varsayalım. Bu oyuncu için sekizinci sepetin onuncu serbest atışta yapılması ihtimali nedir?

Negatif bir binom dağılımı için bir ayarımız olduğunu görüyoruz. Sabit başarı olasılığı 0.8'dir ve dolayısıyla başarısızlık olasılığı 0.2'dir. R = 8 olduğunda X = 10 olasılığını belirlemek istiyoruz.

Bu değerleri olasılık kitle fonksiyonumuza takıyoruz:

f (10) = C (10 -1, 8 - 1) (0.8)⁸(0.2)²= 36(0.8)⁸(0.2)²yaklaşık% 24'tür.

Daha sonra, bu oyuncu sekizini yapmadan önce ortalama serbest atış sayısının ne olduğunu sorabiliriz. Beklenen değer 8 / 0.8 = 10 olduğundan, çekim sayısıdır.