Olasılıkta Beklenen Değer Nedir?

Bir karnavaldasın ve bir oyun görüyorsun. 2 $ için standart bir altı taraflı kalıp yuvarlar. Gösterilen sayı altı ise, 10 $ kazanırsınız, aksi takdirde hiçbir şey kazanmazsınız. Para kazanmaya çalışıyorsanız, oyunu oynamak sizin için ilgi çekici mi? Böyle bir soruyu cevaplamak için beklenen değer kavramına ihtiyacımız var.

Beklenen değer gerçekten rastgele bir değişkenin ortalaması olarak düşünülebilir. Bu, sonuçları izleyerek bir olasılık deneyi tekrar tekrar çalıştırdıysanız, beklenen değerin ortalama elde edilen tüm değerlerin Beklenen değer, bir şans oyununun birçok denemesinin uzun vadede olmasını beklemeniz gereken şeydir.

Yukarıda belirtilen karnaval oyunu, ayrı bir rasgele değişkene bir örnektir. Değişken sürekli değildir ve her sonuç bize diğerlerinden ayrılabilecek bir sayı ile gelir. Sonuçları olan bir oyunun beklenen değerini bulmak x₁, x₂,..., x_n olasılıklarla p₁, p₂,... , p_n, hesaplamak:

x₁p₁ + x₂p₂ +... + x_np_n.

Yukarıdaki oyun için 5/6 kazanma şansınız yok. Oyunu oynamak için 2 $ harcadığınız için bu sonucun değeri -2'dir. Altı kişinin 1/6 gösterme olasılığı vardır ve bu değerin 8 sonucu vardır. Neden 8 değil, 8? Yine oynamak için ödediğimiz 2 $ ve 10 - 2 = 8'i hesaba katmamız gerekiyor.

Şimdi bu değerleri ve olasılıkları beklenen değer formülü ve sonlandır: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Bu, uzun vadede, bu oyunu her oynadığınızda ortalama 33 sent kaybetmeyi beklemeniz gerektiği anlamına gelir. Evet, bazen kazanacaksınız. Ama daha sık kaybedeceksin.

Şimdi karnaval oyununun biraz değiştirildiğini varsayalım. 2 dolarlık aynı giriş ücreti için, gösterilen sayı altı ise 12 dolar kazanırsınız, aksi takdirde hiçbir şey kazanmazsınız. Bu oyunun beklenen değeri -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. Uzun vadede hiç para kaybetmezsiniz ama hiç kazanmazsınız. Yerel karnavalınızda bu numaraları içeren bir oyun görmeyi beklemeyin. Uzun vadede para kaybetmezseniz, karnaval hiç kazanmaz.

Şimdi kumarhaneye dönün. Rulet gibi şans oyunlarının beklenen değerini daha önce olduğu gibi hesaplayabiliriz. ABD'de bir rulet tekerleğinin 1'den 36, 0 ve 00'a kadar 38 numaralı yuvası vardır. 1-36'nın yarısı kırmızı, yarısı siyah. Hem 0 hem de 00 yeşildir. Bir top slotlardan birine rastgele düşer ve bahisler topun ineceği yere yerleştirilir.

En basit bahislerden biri kırmızı bahis oynamaktır. Burada 1 $ bahse girerseniz ve top çarkta kırmızı bir sayıya düşerse, 2 $ kazanırsınız. Top tekerlekte siyah veya yeşil bir alana düşerse, hiçbir şey kazanmazsınız. Böyle bir bahiste beklenen değer nedir? 18 kırmızı alan olduğu için 18/38 kazanma olasılığı var ve net kazanç 1 $. 20 $ / 38'lik ilk bahsinizi kaybetme olasılığı vardır. Bu bahsin beklenen değeri rulet 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38'dir, bu yaklaşık 5,3 senttir. Burada evin hafif bir kenarı var (tüm casino oyunlarında olduğu gibi).

Başka bir örnek olarak, Piyango. 1 dolarlık biletin fiyatı milyonlarca kazanılabilse de, bir piyango oyununun beklenen değeri ne kadar haksız olarak yapıldığını gösterir. 1 $ için 1 ile 48 arasında altı sayı seçtiğinizi varsayalım. Altı sayının tümünü doğru seçme olasılığı 1 / 12,271,512'dir. Eğer altıyı da düzelterek 1 milyon dolar kazanırsanız, piyangonun beklenen değeri nedir? Olası değerler - kaybetmek için 1 $ ve kazanmak için 999,999 $ (yine bunu oynama ve kazançlardan çıkarma maliyetini hesaba katmalıyız). Bu bize beklenen değeri verir:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Piyangoyu tekrar tekrar oynasaydınız, uzun vadede, her oynadığınızda yaklaşık 92 sent - neredeyse tüm bilet fiyatınız - kaybedersiniz.

Yukarıdaki örneklerin tümü ayrı bir alana bakar rastgele değişken. Bununla birlikte, sürekli bir rasgele değişken için beklenen değeri de tanımlamak mümkündür. Bu durumda tek yapmamız gereken, formülümüzdeki toplamı bir integral ile değiştirmek.

Bir çok denemeden sonra beklenen değerin ortalama olduğunu hatırlamak önemlidir. rastgele süreç. Kısa vadede, rastgele bir değişkenin ortalaması beklenen değerden önemli ölçüde farklılık gösterebilir.