İki Nüfusun Farkı için Güven Aralığı

Güvenilirlik aralığı bir parçası çıkarımsal istatistik. Bu konunun arkasındaki temel fikir, bilinmeyen bir nüfusun değerini tahmin etmektir parametre istatistiksel bir örnek kullanarak. Sadece bir parametrenin değerini tahmin etmekle kalmaz, aynı zamanda ilgili iki parametre arasındaki farkı tahmin etmek için yöntemlerimizi de uyarlayabiliriz. Örneğin, belirli bir yasayı destekleyen erkek ABD'li oy kullanan nüfusun, kadın oy veren nüfusa oranındaki farkı bulmak isteyebiliriz.

İki nüfus oranının farkı için bir güven aralığı oluşturarak bu tür bir hesaplamanın nasıl yapılacağını göreceğiz. Bu süreçte bu hesaplamanın arkasındaki teoriyi inceleyeceğiz. Nasıl inşa ettiğimizde bazı benzerlikler göreceğiz tek bir nüfus oranı için güven aralığı yanı sıra iki popülasyonun farkı için güven aralığı.

Kullanacağımız belirli formüle bakmadan önce, bu tür bir güven aralığının uyduğu genel çerçeveyi ele alalım. Bakacağımız güven aralığının türü aşağıdaki formülle verilmiştir:

Hatanın +/- Kenar Boşluğunu Tahmini

Pek çok güven aralığı bu türdendir. Hesaplamamız gereken iki sayı var. Bu değerlerden ilki, parametrenin tahminidir. İkinci değer, hata payıdır. Bu hata payı bir tahmininiz olduğu gerçeğini açıklar. Güven aralığı bize bilinmeyen parametremiz için bir dizi olası değer sağlar.

Herhangi bir hesaplama yapmadan önce tüm koşulların yerine getirildiğinden emin olmalıyız. İki nüfus oranının farkı için bir güven aralığı bulmak için aşağıdakilerin sağlandığından emin olmamız gerekir:

• İki tane var basit rastgele örnekler büyük popülasyonlardan. Burada "büyük", popülasyonun numunenin boyutundan en az 20 kat daha büyük olduğu anlamına gelir. Örnek boyutları ile gösterilir n₁ ve n₂.
• Bireylerimiz birbirlerinden bağımsız olarak seçildi.
• Örneklerimizin her birinde en az on başarı ve on başarısızlık vardır.

Listedeki son öğe tatmin olmazsa, bunun bir yolu olabilir. Değiştirebiliriz artı dört güven aralığı inşaat ve elde sağlam sonuçlar. İlerledikçe, yukarıdaki koşulların hepsinin karşılandığını varsayıyoruz.

Şimdi güven aralığımızı oluşturmaya hazırız. Nüfus oranlarımız arasındaki farkın tahmini ile başlıyoruz. Bu nüfus oranlarının her ikisi de örnek bir oranla tahmin edilmektedir. Bu örnek oranları, her bir numunedeki başarıların sayısını bölerek ve sonra ilgili örneklem büyüklüğüne bölerek bulunan istatistiklerdir.

İlk nüfus oranı şu şekilde gösterilir: p₁. Örneklemimizde bu popülasyondan elde edilen başarı sayısı k₁, sonra örnek bir oranımız var k₁ / n_1.

Bu istatistiği p̂ ile belirtiyoruz.₁. Bu sembolü "p₁-hat "çünkü p sembolüne benziyor₁ üstüne bir şapka ile.

Benzer şekilde ikinci popülasyonumuzdan örnek bir oran hesaplayabiliriz. Bu popülasyondan gelen parametre p₂. Örneklemimizde bu popülasyondan elde edilen başarı sayısı k₂, ve bizim örnek oranı p̂₂ = k₂ / n_2.

Bu iki istatistik güven aralığımızın ilk kısmı haline geldi. Tahmini p₁ p̂₁. Tahmini p₂ p̂_2. Yani farkın tahmini p₁ - p₂ p̂₁ - p̂_2.

Daha sonra, hata payı için formülü elde etmeliyiz. Bunu yapmak için önce örnekleme dağılımı of p̂₁ . Bu başarı olasılığı olan bir binom dağılımı p₁ ve n₁ denemeler. Bu dağılımın ortalaması orantıdır. p₁. Bu tip rastgele değişkenin standart sapması, p₁ (1 - p₁ )/n₁.

Örneklem dağılımı p̂₂ p̂'ninkine benzer₁ . Tüm endeksleri 1'den 2'ye değiştirin ve p ortalaması ile binom dağılımına sahibiz.₂ ve varyansı p₂ (1 - p₂ )/n₂.

Şimdi p̂ örnekleme dağılımını belirlemek için matematiksel istatistiklerden birkaç sonuca ihtiyacımız var.₁ - p̂₂. Bu dağılımın ortalaması p₁ - p₂. Varyansların bir araya gelmesi nedeniyle, örnekleme dağılımının varyansının p₁ (1 - p₁ )/n₁ + p₂ (1 - p₂ )/n_2. Dağılımın standart sapması, bu formülün kare köküdür.

Yapmamız gereken birkaç ayar var. Birincisi, p̂'nin standart sapması için formül₁ - p̂₂ bilinmeyen parametrelerini kullanır p₁ ve p₂. Elbette bu değerleri gerçekten bilseydik, ilginç bir istatistiksel sorun olmazdı. Arasındaki farkı tahmin etmemiz gerekmezdi p₁ ve p_2.. Bunun yerine, kesin farkı hesaplayabiliriz.

Bu sorun, standart sapma yerine standart hata hesaplanarak giderilebilir. Tek yapmamız gereken nüfus oranlarını örnek oranlarıyla değiştirmek. Standart hatalar, parametreler yerine istatistiklere göre hesaplanır. Standart bir hata faydalıdır çünkü standart sapmayı etkili bir şekilde tahmin eder. Bunun bizim için anlamı, artık parametrelerin değerini bilmemize gerek olmamasıdır p₁ ve p₂. .Bu örnek oranlar bilindiği için, standart hata aşağıdaki ifadenin kare kökü tarafından verilir:

p₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.

Ele almamız gereken ikinci madde, örnekleme dağılımımızın özel biçimidir. P̂ örnekleme dağılımına yaklaşmak için normal bir dağılım kullanabileceğimiz ortaya çıktı.₁ - p̂₂. Bunun nedeni biraz tekniktir, ancak bir sonraki paragrafta açıklanmaktadır.

Her ikisi de p̂₁ ve P₂ binom örnekleme dağılımına sahiptir. Bu binom dağılımlarının her biri, normal bir dağılım ile oldukça iyi bir şekilde tahmin edilebilir. Böylece p̂₁ - p̂₂ rastgele bir değişkendir. İki rasgele değişkenin doğrusal bir kombinasyonu olarak oluşturulur. Bunların her biri normal bir dağılım ile yaklaşmaktadır. Bu nedenle p̂ örnekleme dağılımı₁ - p̂₂ ayrıca normal olarak dağıtılır.

Artık güven aralığımızı oluşturmak için ihtiyacımız olan her şeye sahibiz. Tahmin (p̂₁ - p̂₂) ve hata payı z * [s₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5. Girdiğimiz değer z * güven düzeyine göre belirlenir C. İçin yaygın olarak kullanılan değerler z * % 90 güven için 1,645 ve% 95 güven için 1,96'dır. İçin bu değerler z * standart normal dağılımın tam olarak C dağılım yüzdesi arasında -z * ve Z *.

Aşağıdaki formül, iki nüfus oranının farkı için bize bir güven aralığı vermektedir:

(s₁ - p̂₂) +/- z * [s₁ (1 - p̂₁ )/n₁ + p̂₂ (1 - p̂₂ )/n_2.]^0.5