Bir olayın olasılığını nasıl hesaplayacağınızı bilmek önemlidir. Olasılıktaki belirli olay türlerine bağımsız denir. Bir çift bağımsız etkinliğimiz olduğunda, bazen "Bu iki olayın da gerçekleşme olasılığı nedir?" Diye sorabiliriz. Bu durumda, iki olasılığımızı birlikte çoğaltabiliriz.
Bağımsız olaylar için çarpma kuralının nasıl kullanılacağını göreceğiz. Temelleri gözden geçirdikten sonra birkaç hesaplamanın ayrıntılarını göreceğiz.
Bağımsız olayların bir tanımıyla başlıyoruz. İçinde olasılık, bir olayın sonucu ikinci olayın sonucunu etkilemezse iki olay bağımsızdır.
Bir çift bağımsız olaya iyi bir örnek, bir kalıbı döndürüp bir bozuk para çevirdiğimiz zamandır. Kalıpta gösterilen sayının atılan madeni para üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Dolayısıyla bu iki olay bağımsızdır.
Bağımsız olmayan bir çift olaya örnek olarak her bir bebeğin bir ikiz ikiz cinsiyeti verilebilir. İkizler aynıysa, her ikisi de erkek olacak ya da her ikisi de kadın olacak.
Bağımsız olaylar için çarpma kuralı, iki olayın olasılığını, her ikisinin de meydana gelme olasılığı ile ilişkilendirir. Kuralı kullanmak için, bağımsız olayların her birinin olasılıklarına sahip olmamız gerekir. Bu olaylar göz önüne alındığında, çarpma kuralı her iki olayın meydana gelme olasılığını, her olayın olasılığını çarparak bulduğunu belirtir.
Olayları göster bir ve B ve her birinin olasılıkları P (A) ve P (B). Eğer bir ve B bağımsız olaylardır, o zaman:
Bu formülün bazı sürümlerinde daha da fazla sembol kullanılır. "Ve" kelimesi yerine kavşak sembolünü kullanabiliriz: ∩. Bazen bu formül bağımsız olayların tanımı olarak kullanılır. Olaylar sadece ve sadece P (A ve B) = P (A) x P (B).
Birkaç örneğe bakarak çarpma kuralının nasıl kullanılacağını göreceğiz. Önce altı taraflı bir kalıp yuvarladığımızı ve sonra bir bozuk para çevirdiğimizi varsayalım. Bu iki olay bağımsızdır. 1'in haddeleme olasılığı 1/6'dır. Bir kafanın olasılığı 1/2'dir. Bir haddeleme olasılığı 1 ve kafa almak 1/6 x 1/2 = 1/12'dir.
Bu sonuç hakkında şüpheci olmaya meyilli olsaydık, bu örnek tüm sonuçlara yetecek kadar küçüktür listelenebilir: {(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T)}. Hepsinin eşit olarak ortaya çıkması muhtemel on iki sonuç olduğunu görüyoruz. Bu nedenle 1 ve bir kafa olasılığı 1/12'dir. Çarpma kuralı çok daha verimliydi çünkü tüm örnek alanımızı listelememizi gerektirmedi.
İkinci örnek için, bir karttan standart güverte, bu kartı değiştirin, desteyi karıştırın ve tekrar çizin. Daha sonra her iki kartın da kral olma olasılığının ne olduğunu soruyoruz. Çizdiğimizden beri yedek ile, bu olaylar bağımsızdır ve çarpma kuralı uygulanır.
İlk kart için bir kral çizme olasılığı 1/13'tür. İkinci çekilişte bir kral çizme olasılığı 1/13'tür. Bunun nedeni ilk kez çizdiğimiz kralı değiştirmemiz. Bu olaylar bağımsız olduğundan, iki kral çizme olasılığının aşağıdaki ürün tarafından verildiğini görmek için çarpım kuralını kullanıyoruz 1/13 x 1/13 = 1/169.
Kralın yerini almasaydık, o zaman olayların bağımsız olmayacağı farklı bir duruma sahip olurduk. İkinci kartta bir kral çekme olasılığı ilk kartın sonucundan etkilenir.