Binom Dağılımının Beklenen Değeri

Binom dağılımları önemli bir ayrık sınıftır olasılık dağılımları. Bu tür dağıtımlar bir dizi n Her biri sabit bir olasılığa sahip olan bağımsız Bernoulli çalışmaları p başarı. Herhangi bir olasılık dağılımında olduğu gibi, ortalamasının veya merkezinin ne olduğunu bilmek isteriz. Bunun için gerçekten soruyoruz: “ beklenen değer binom dağılımının? ”

Dikkatlice düşünürsek Binom dağılımı, beklenen olduğunu belirlemek zor değil bu tür olasılık dağılımının değeri dır-dir np. Bunun birkaç kısa örneği için aşağıdakileri göz önünde bulundurun:

• 100 jeton atarsak ve X kafa sayısı, beklenen değer X 50 = (1/2) 100'dür.
• 20 sorudan oluşan çoktan seçmeli bir test yapıyor ve her sorunun dört seçeneği varsa ( bu doğru ise), rastgele tahmin etmek, yalnızca (1/4) 20 = 5 soru almayı beklediğimiz anlamına gelir. doğru.

Bu örneklerin her ikisinde de E [X] = n p. İki dava bir sonuca varmak için yeterli değildir. Sezgi bize rehberlik etmek için iyi bir araç olmasına rağmen, matematiksel bir argüman oluşturmak ve bir şeyin doğru olduğunu kanıtlamak yeterli değildir. Bu dağılımın beklenen değerinin gerçekten olduğunu kesin olarak nasıl kanıtlarız?

Beklenen değerin tanımlanmasından ve Binom dağılımı nın-nin n başarı olasılığı denemeleri p, sezgimizin matematiksel titizlik meyveleriyle eşleştiğini gösterebiliriz. Çalışmalarımızda biraz dikkatli olmalıyız ve kombinasyonlar için formül tarafından verilen binom katsayısı manipülasyonlarımızda çevik olmalıyız.

Formülü kullanarak başlıyoruz:

E [X] = Σ _{x = 0 olduğu}ⁿ x C (n, x) p^x(1-p)^{n - x}.

Toplamın her bir terimi ile çarpıldığından x, karşılık gelen terimin değeri x = 0 0 olacak ve böylece aslında şunu yazabiliriz:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

İfadesinde yer alan faktörleri manipüle ederek C (n, x) yeniden yazabiliriz

xC (n, x) = nC (n - 1, x - 1).

Bu doğrudur çünkü:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Şunu izler:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^x (1 - p) ^{n - x} .

Faktörü etkisizleştiriyoruz n ve bir p Yukarıdaki ifadeden:

E [X] = np Σ _{x = 1}ⁿ C (n - 1, x - 1) p ^{x - 1} (1 - p) ^{(n - 1) - (x - 1)} .

Değişken değişikliği r = x - 1 bize verir:

E [X] = np Σ _{r = 0}^{n - 1} C (n - 1, r) p ^r (1 - p) ^{(n - 1) - r} .

Binom formülü ile, (x + y)^k = Σ _{r = 0} ^kC (k, r) x^r y^{k - r} yukarıdaki toplam yeniden yazılabilir:

E [X] = (np) (p + (1 - p))^{n - 1} = np.

Yukarıdaki tartışma bizi çok etkiledi. Sadece bir binom dağılımı için beklenen değer ve olasılık kütle fonksiyonunun tanımı ile başlayarak, sezgimizin bize söylediklerini kanıtladık. Beklenen değer Binom dağılımıB (n, p) dır-dir n p.