Çıkarımsal istatistiklerin önemli bir kısmı hipotez testidir. Matematik ile ilgili her şeyi öğrenirken olduğu gibi, birkaç örnek üzerinde çalışmak faydalı olacaktır. Aşağıda bir hipotez testi örneği incelenmekte ve tip I ve tip II hataları.
Basit koşulların geçerli olduğunu varsayacağız. Daha spesifik olarak, basit rastgele örnek ya normal dağılım veya uygulayabileceğimiz yeterince büyük bir örnek büyüklüğüne sahip Merkezi Limit Teoremi. Ayrıca, popülasyon standart sapmasını bildiğimizi varsayacağız.
Problem cümlesi
Bir torba patates cipsi ağırlıkça paketlenmiştir. Toplam dokuz torba satın alınır, tartılır ve bu dokuz torbanın ortalama ağırlığı 10,5 ons'dur. Tüm bu çip torbalarının popülasyonunun standart sapmasının 0.6 ons olduğunu varsayalım. Tüm paketler üzerinde belirtilen ağırlık 11 ons. 0,01 olarak bir önem düzeyi belirleyin.
Soru 1
Örnek, gerçek popülasyon ortalamasının 11 ons'tan az olduğu hipotezini destekliyor mu?
Elimizde bir alt kuyruklu test. Bu, bizim sıfır ve alternatif hipotezler:
- 'H0: μ=11.
- 'Hbir: μ < 11.
Test istatistiği formülle hesaplanır
z = (x-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Şimdi bu değerin z sadece şans eseri. Tablosu kullanarak z-scorres görüyoruz ki olasılık z -2.5'e eşit ya da eşittir 0.0062'dir. Bu p değeri, önem seviyesi, sıfır hipotezini reddediyoruz ve alternatif hipotezi kabul ediyoruz. Tüm cips torbalarının ortalama ağırlığı 11 ons'tan azdır.
soru 2
Tip I hatasının olasılığı nedir?
Doğru olan bir sıfır hipotezini reddettiğimizde tip I hatası oluşur. Böyle bir hatanın olasılığı önem seviyesine eşittir. Bu durumda, 0.01'e eşit bir önem seviyesine sahibiz, bu yüzden bu tip I hatasının olasılığıdır.
Soru 3
Nüfus ortalaması aslında 10,75 ons ise, Tip II hatasının olasılığı nedir?
Karar kuralımızı örnek ortalama olarak yeniden formüle ederek başlıyoruz. 0.01 anlamlılık düzeyi için, sıfır hipotezini z < -2.33. Bu değeri test istatistikleri formülüne ekleyerek, sıfır hipotezini
(x-bar - 11) / (0.6 / √ 9)
Aynı şekilde, 11 - 2,33 (0,2) olduğunda sıfır hipotezini reddediyoruz> x-bar veya x-bar değeri 10.534'ten az. İçin sıfır hipotezini reddedemiyoruz x-bar, 10.534'e eşit veya daha büyük. Gerçek nüfus ortalaması 10.75 ise, x-bar, 10.534 değerinden büyük veya ona eşittir. z -0,22'den büyük veya ona eşittir. Tip II hata olasılığı olan bu olasılık 0,587'ye eşittir.