Chebyshev Eşitsizliği Çalışma Sayfası

Chebyshev’in eşitsizliği en az 1 -1 /K² bir örnekten gelen verilerin yüzdesi KStandart sapma -dan anlamına gelmek, neredeK olumlu mu gerçek Numara birden büyük. Bu, verilerimizin dağıtım şeklini bilmemize gerek olmadığı anlamına gelir. Sadece ortalama ve standart sapma ile, belirli bir sayıda standart sapmanın ortalamadan veri miktarını belirleyebiliriz.

Aşağıdakiler eşitsizliği kullanarak pratik yapmak için bazı problemlerdir.

Bir ikinci sınıf öğrencisi sınıfının ortalama yüksekliği beş fittir ve standart sapması bir inçtir. Sınıfın en az yüzde 4'ü 4-10 ”ile 5'2” arasında olmalıdır?

Yukarıdaki aralıkta verilen yükseklikler ortalama beş feet yükseklikten iki standart sapma içindedir. Chebyshev’in eşitsizliği en az 1 - 1/2² = 3/4 = Sınıfın% 75'i verilen yükseklik aralığında.

Belirli bir şirketten gelen bilgisayarların, herhangi bir donanım arızası olmaksızın, iki ay standart sapması ile ortalama olarak üç yıl sürdüğü bulunmuştur. Bilgisayarların en az yüzde 31'i 41 ay ile 41 ay arasında sürüyor mu?

Üç yıllık ortalama ömür 36 aya karşılık gelmektedir. 31 ay ila 41 ay arasındaki sürelerin her biri 5/2 = 2,5 standart sapmadır. Chebyshev’in eşitsizliğine göre, en az 1 - 1 / (2,5) 6² = Bilgisayarların% 84'ü 31 aydan 41 aya kadar sürer.

Bir kültürdeki bakteriler standart 10 dakikalık sapmayla ortalama üç saat yaşarlar. En azından bakterilerin hangi kısmı iki ila dört saat arasında yaşıyor?

İki ve dört saat her biri ortalamadan bir saat uzaklıktadır. Bir saat altı standart sapmaya karşılık gelir. Yani en az 1 - 1/6² = 35/36 = bakterilerin% 97'si iki ila dört saat arasında yaşar.

Bir dağıtım verilerinin en az% 50'sine sahip olmamızı sağlamak istiyorsak, gitmemiz gereken ortalamadan en az standart sapma sayısı nedir?

Burada Chebyshev'in eşitsizliğini kullanıyoruz ve geriye doğru çalışıyoruz. % 50 istiyoruz = 0,50 = 1/2 = 1 - 1 /K². Amaç, çözmek için cebir kullanmaktır. K.

1/2 = 1 /K². Çapraz çarpın ve bakın 2 =K². Her iki tarafın karekökünü alıyoruz ve o zamandan beri K standart sapmaların bir sayısıdır, denklemin olumsuz çözümünü görmezden geliriz. Bu gösteriyor ki K ikisinin kareköküne eşittir. Dolayısıyla, verilerin en az% 50'si ortalamadan yaklaşık 1.4 standart sapma içindedir.

25 numaralı otobüs güzergahı, 2 dakikalık standart sapmayla ortalama 50 dakika sürer. Bu otobüs sistemi için bir tanıtım posteri “25 numaralı otobüs güzergahının% 95'inin ____ ila _____ dakika sürdüğünü” belirtir. Boşlukları hangi sayılarla doldurursunuz?

Bu soru, çözmemiz gereken son soruya benzer K, ortalamadan standart sapma sayısı. % 95 = 0,95 = 1 - 1 /K². Bu 1 - 0.95 = 1 /K². 1 / 0.05 = 20 = K². Yani K = 4.47.

Şimdi bunu yukarıdaki terimlerle ifade edin. Tüm sürüşlerin en az% 95'i ortalama 50 dakikalık süreden 4.47 standart sapmadır. Dokuz dakika ile sona ermek için 2'nin standart sapmasıyla 4,47'yi çarpın. Yani% 95 oranında, 25 numaralı otobüs güzergahı 41 ile 59 dakika arasında sürmektedir.