Chebyshev'in Olasılıkta Eşitsizliği

Chebyshev’in eşitsizliği en az 1-1 /K² bir örnekten gelen verilerin yüzdesi K ortalamadan standart sapmalar (burada K olumlu mu gerçek Numara birden büyük).

Normal olarak dağıtılan veya Çan eğrisi, çeşitli özelliklere sahiptir. Bunlardan biri, verilerin ortalamadan standart sapma sayısına göre yayılması ile ilgilidir. Normal bir dağılımda, verilerin% 68'inin ortalamadan bir standart sapma olduğunu,% 95'inin iki olduğunu biliyoruz. standart sapmalar ortalamadan ve yaklaşık% 99'u ortalamadan üç standart sapma içinde.

Ancak veri seti bir çan eğrisi şeklinde dağıtılmamışsa, bir standart sapma içinde farklı bir miktar olabilir. Chebyshev’in eşitsizliği, verilerin hangi kısmının içeride olduğunu bilmek için bir yol sağlar K ortalamadan standart sapmalar hiç veri kümesi.

“Bir örnekten veri” ifadesini yerine koyarak yukarıdaki eşitsizliği de belirtebiliriz. olasılık dağılımı. Bunun nedeni Chebyshev’in eşitsizliğinin olasılıktan kaynaklanması ve bunun sonucunda istatistiklere uygulanabilmesidir.

Bu eşitsizliğin matematiksel olarak kanıtlanmış bir sonuç olduğunu belirtmek önemlidir. Gibi değil ampirik ilişki ortalama ve mod arasında veya temel kural aralığı ve standart sapmayı birbirine bağlar.

Eşitsizliği göstermek için, buna birkaç değer bakacağız. K:

• İçin K = 2 elimizde 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Dolayısıyla Chebyshev’in eşitsizliği, herhangi bir dağılımın veri değerlerinin en az% 75'inin ortalamanın iki standart sapması içinde olması gerektiğini söylüyor.
• İçin K = 3 elimizde 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Dolayısıyla Chebyshev’in eşitsizliği, herhangi bir dağılımın veri değerlerinin en az% 89'unun ortalamanın üç standart sapması içinde olması gerektiğini söylüyor.
• İçin K = 4 elimizde 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Dolayısıyla Chebyshev’in eşitsizliği, herhangi bir dağılımın veri değerlerinin en az% 93,75'inin ortalamanın iki standart sapması içinde olması gerektiğini söylüyor.

Yerel hayvan barınağındaki köpeklerin ağırlıklarını örneklediğimizi ve örneğimizin ortalama 3 kiloya sahip olduğunu ve standart sapma 3 kilo olduğunu buldum. Chebyshev eşitsizliğinin kullanılmasıyla, örneklediğimiz köpeklerin en az% 75'inin ortalamadan iki standart sapma olan ağırlıkları olduğunu biliyoruz. Standart sapmanın iki katı bize 2 x 3 = 6 verir. Çıkarın ve ortalama 20'den ekleyin. Bu bize köpeklerin% 75'inin 14 pounddan 26 pound ağırlığa sahip olduğunu söylüyor.

Çalıştığımız dağıtım hakkında daha fazla bilgi sahibi olursak, genellikle daha fazla verinin ortalamadan belirli sayıda standart sapma olduğunu garanti edebiliriz. Örneğin, normal bir dağılımımız olduğunu biliyorsanız, verilerin% 95'i ortalamadan iki standart sapmadır. Chebyshev’in eşitsizliği, bu durumda şunu biliyoruz ki en azından Verilerin% 75'i ortalamadan iki standart sapmadır. Bu durumda görebileceğimiz gibi, bu% 75'ten çok daha fazla olabilir.

Eşitsizliğin değeri bize örnek verilerimiz (veya olasılık dağılımımız) hakkında bildiğimiz tek şeyin ortalama ve standart sapma. Verilerimiz hakkında başka bir şey bilmediğimizde, Chebyshev’in eşitsizliği, veri kümesinin ne kadar yayıldığına dair ek bilgiler sağlar.

Eşitsizlik, ilk olarak 1874'te kanıt olmadan eşitsizliği belirten Rus matematikçi Pafnuty Chebyshev'den almıştır. On yıl sonra eşitsizlik Markov tarafından doktora derecesinde kanıtlandı. tez. İngilizce Rus alfabesinin nasıl temsil edileceği konusundaki varyanslar nedeniyle, Chebyshev de Tchebysheff olarak yazılmıştır.