Sayılamayan Kümelerin Genel Örnekleri

Tüm sonsuz kümeler aynı değildir. Bu kümeleri ayırt etmenin bir yolu, kümenin sayılabilir olup olmadığını sormaktır sonsuz ya da değil. Bu şekilde, sonsuz kümelerin sayılabilir veya sayılamaz olduğunu söylüyoruz. Sonsuz kümelerin birkaç örneğini ele alacağız ve bunlardan hangisinin sayılamayacağını belirleyeceğiz.

Sonsuz kümelerin birkaç örneğini ekleyerek başlıyoruz. Hemen düşüneceğimiz sonsuz setlerin çoğunun sayılabilecek derecede sonsuz olduğu bulunmuştur. Bu, doğal sayılarla birebir yazışma yapabildikleri anlamına gelir.

Doğal sayılar, tamsayılar ve rasyonel sayılar sayılabilir. Sayılabilir sonsuz kümelerin birleşmesi veya kesişimi de sayılabilir. Herhangi bir sayıdaki sayılabilir kümenin Kartezyen ürünü sayılabilir. Sayılabilir bir kümenin herhangi bir alt kümesi de sayılabilir.

Sayılamayan kümelerin sunulmasının en yaygın yolu, (0, 1) aralığını ( gerçek sayılar. Bu olgudan ve bire bir işlevden f( x ) = bx + bir. herhangi bir aralığın (bir, b) gerçek sayıların sayılamayacak kadar sınırsız olması.

Bütün gerçek sayılar kümesi sayılamaz. Bunu göstermenin bir yolu, bire bir teğet işlevini kullanmaktır f ( x ) = tan x. Bu işlevin alanı aralık (-π / 2, π / 2), sayılamayan bir kümedir ve aralık tüm gerçek sayıların kümesidir.

Temel küme teorisinin işlemleri sayılamayan sonsuz kümelere daha fazla örnek üretmek için kullanılabilir:

• Eğer bir bir alt kümesidir B ve bir sayılamaz, öyleyse de B. Bu, tüm gerçek sayılar kümesinin sayılamadığına dair daha açık bir kanıt sağlar.
• Eğer bir sayılamaz ve B herhangi bir kümedir, o zaman birlik bir U B ayrıca sayılamaz.
• Eğer bir sayılamaz ve B herhangi bir set, daha sonra Kartezyen ürün bir x B ayrıca sayılamaz.
• Eğer bir o zaman sonsuz (hatta sayıca sonsuz) Gücü ayarla nın-nin bir sayılamaz.

Birbirleriyle ilişkili iki örnek biraz şaşırtıcı. Gerçek sayıların her alt kümesi sayılamayacak kadar sınırsız değildir (gerçekten de rasyonel sayılar, aynı zamanda yoğun olan realitelerin sayılabilir bir alt kümesini oluşturur). Bazı alt kümeler sayılamayacak kadar sınırsızdır.

Bu sayılamayan sonsuz altkümelerden biri, belirli ondalık genişletme türlerini içerir. İki sayı seçer ve yalnızca bu iki basamakla mümkün olan her ondalık genişlemeyi oluşturursak, sonuçta elde edilen sonsuz küme sayılamaz.

Başka bir küme inşa etmek daha karmaşıktır ve ayrıca sayılamaz. Kapalı aralık ile başlayın [0,1]. [0, 1/3] U [2/3, 1] ile sonuçlanan bu setin orta üçte birlik kısmını çıkarın. Şimdi setin kalan parçalarının orta üçte birini çıkarın. Böylece (1/9, 2/9) ve (7/9, 8/9) çıkarılır. Bu şekilde devam ediyoruz. Tüm bu aralıkların kaldırılmasından sonra kalan noktalar kümesi bir aralık değildir, ancak sayılamayacak kadar sınırsızdır. Bu sete Cantor Set denir.

Sonsuz sayıda sayılamayan kümeler vardır, ancak yukarıdaki örnekler en sık karşılaşılan kümelerden bazılarıdır.