Olasılığı incelemenin popüler bir yolu zar atmaktır. Standart bir kalıbın 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 numaralı küçük noktalarla basılmış altı yüzü vardır. Eğer kalıp adil ise (ve biz üstlenmek hepsinin olduğu), o zaman bu sonuçların her biri eşit derecede olasıdır. Altı olası sonuç olduğundan, kalıbın herhangi bir tarafını elde etme olasılığı 1/6'dır. 1'in haddeleme olasılığı 1/6, 2'nin haddeleme olasılığı 1/6'dır, vb. Ama başka bir kalıp eklersek ne olur? İki zar atma olasılıkları nelerdir?
Zar Atma Olasılığı
Bir zar atma olasılığını doğru bir şekilde belirlemek için iki şeyi bilmemiz gerekir:
- Boyutunun örnekleme alanı veya toplam olası sonuçların kümesi
- Bir olayın ne sıklıkla gerçekleştiği
İçinde olasılık, bir olay, örnek alanının belirli bir alt kümesidir. Örneğin, yukarıdaki örnekte olduğu gibi yalnızca bir kalıp yuvarlandığında, numune alanı kalıptaki veya kümedeki (1, 2, 3, 4, 5, 6) tüm değerlere eşittir. Kalıp adil olduğundan, setteki her sayı sadece bir kez gerçekleşir. Diğer bir deyişle, her sayının sıklığı 1'dir. Kalıptaki sayılardan herhangi birini haddeleme olasılığını belirlemek için, olay frekansını (1) numune boşluğunun (6) boyutuna bölerek 1/6 olasılıkla sonuçlanır.
İki adil zarı daha fazla yuvarlamak, olasılıkları hesaplamanın zorluğunu iki katına çıkarır. Bunun nedeni, bir kalıbın yuvarlanmasıyla ikinci kalıbın yuvarlanmasından bağımsız olmasıdır. Bir rulonun diğeri üzerinde etkisi yoktur. Bağımsız olaylarla uğraşırken çarpma kuralı. Bir ağaç diyagramının kullanılması, iki zarın yuvarlanmasından 6 x 6 = 36 olası sonuç olduğunu gösterir.
Diyelim ki ilk aldığımız kalıp 1 olarak karşımıza çıkıyor. Diğer kalıp silindiri 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir. Şimdi ilk kalıbın 2 olduğunu varsayalım. Diğer kalıp silindiri yine 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir. Zaten 12 potansiyel sonuç bulduk ve henüz ilk ölmenin tüm olanaklarını tüketmedik.
İki Zar Yuvarlama Olasılık Tablosu
İki zar atmanın olası sonuçları aşağıdaki tabloda gösterilmektedir. Toplam olası sonuç sayısının ilk kalıbın örnek boşluğuna eşit olduğuna dikkat edin (6) çarpılan 36 olan ikinci kalıbın (6) numune boşluğu ile.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Üç veya Daha Fazla Zar
Aynı ilke, üç zar içeren problemler. Çoğalır ve 6 x 6 x 6 = 216 olası sonuç olduğunu görürüz. Tekrarlanan çarpmayı yazmak zorlaştıkça, işi basitleştirmek için üsleri kullanabiliriz. İki zar için 62 Olası sonuçlar. Üç zar için 6 tane var3 Olası sonuçlar. Genel olarak, n zar, o zaman toplam 6n Olası sonuçlar.
Örnek Problemler
Bu bilgi ile her türlü olasılık problemini çözebiliriz:
1. İki altı taraflı zar yuvarlanır. İki zarın toplamının yedi olma olasılığı nedir?
Bu sorunu çözmenin en kolay yolu yukarıdaki tabloya başvurmaktır. Her satırda, iki zarın toplamının yediye eşit olduğu bir zar rulosu olduğunu göreceksiniz. Altı sıra olduğundan, iki zarın toplamının yediye eşit olduğu altı olası sonuç vardır. Toplam olası sonuç sayısı 36'dır. Yine, olay frekansını (6) örnek boşluğunun (36) boyutuna bölerek 1/6 olasılıkla sonuçlandı.
2. İki altı taraflı zar yuvarlanır. Olasılık nedir toplam iki zar üç?
Önceki problemde, iki zarın toplamının yediye eşit olduğu hücrelerin bir diyagonal oluşturduğunu fark etmiş olabilirsiniz. Aynı şey burada da geçerlidir, ancak bu durumda zar toplamının üç olduğu sadece iki hücre vardır. Çünkü bu sonucu elde etmenin sadece iki yolu vardır. 1 ve 2'yi yuvarlamanız veya 2 ve 1'i yuvarlamanız gerekir. Yedi toplamı döndürmek için kombinasyonlar çok daha büyüktür (1 ve 6, 2 ve 5, 3 ve 4 vb.). İki zarın toplamının üç olma olasılığını bulmak için, olay frekansını (2) numune boşluğunun (36) büyüklüğüne bölebiliriz, bu da 1/18 olasılıkla sonuçlanır.
3. İki altı taraflı zar yuvarlanır. Olasılığı sayılar zar farklı?
Yine, yukarıdaki tabloya başvurarak bu sorunu kolayca çözebiliriz. Zar üzerindeki sayıların aynı olduğu hücrelerin diyagonal olduğunu fark edeceksiniz. Sadece altı tane var ve onları geçtikten sonra zardaki sayıların farklı olduğu kalan hücreler var. Kombinasyonların sayısını (30) alabilir ve numune boşluğunun (36) büyüklüğüne bölebiliriz, bu da 5/6 olasılığı ile sonuçlanabilir.