Sıfır faktöriyse, içinde değere sahip olmayan bir veri kümesini düzenlemenin bir yolu olan matematiksel bir ifadedir. Genel olarak, faktöryel bir sayının çarpma ifadesini yazmanın kısa bir yoludur, burada sayı her sayıdan daha küçük fakat sıfırdan büyüktür. 4! = 24, örneğin, 4 x 3 x 2 x 1 = 24 yazmakla aynıdır, ancak biri aynı denklemi ifade etmek için faktör numarasının (dört) sağında bir ünlem işareti kullanır.
Bu örneklerden, veya daha büyük herhangi bir sayının faktöriyelinin nasıl hesaplanacağı oldukça açıktır. birine eşit, ancak matematiksel kurala sıfır ile çarpılan her şeyin sıfıra eşit olmasına rağmen neden sıfır faktöryel değerdir?
Faktöriyel tanımı 0 olduğunu belirtir! = 1. Bu, tipik olarak insanları bu denklemi ilk kez gördüklerinde karıştırır, ancak aşağıda göreceğiz sıfırın tanımına, permütasyonlarına ve formüllerine baktığınızda bunun neden mantıklı olduğunu gösteren örnekler faktöryel.
Sıfır Faktörün Tanımı
Sıfır faktörün bire eşit olmasının ilk nedeni, tanımın olması gerektiği gibi söylediği, matematiksel olarak doğru bir açıklama (eğer biraz tatmin edici değilse). Yine de, bir faktöriyel tanımın, değere eşit veya daha az olan tüm tamsayıların ürünü olduğunu hatırlamak gerekir. orijinal sayı — diğer bir deyişle, faktöryel, sayıdan daha küçük veya ona eşit sayılarda mümkün olan kombinasyon sayısıdır numara.
Sıfır, sayıdan daha az sayıya sahip olmadığından, ancak yine de kendi başına bir sayı olduğundan, bu veri kümesinin nasıl düzenlenebileceğinden başka olası bir kombinasyon vardır: olamaz. Bu hala onu düzenlemenin bir yolu olarak sayılıyor, bu yüzden tanım gereği sıfır faktöriyeli, 1'e eşit! bu veri kümesinin yalnızca tek bir olası düzenlemesi olduğundan bire eşittir.
Bunun matematiksel olarak nasıl anlamlı olduğunu daha iyi anlamak için, bu tür faktörlerin, boş veya sıfır kümesinde değer olmamasına rağmen, kümenin hala tek bir yolu olduğunu anlamada faydalı olabilecek, permütasyonlar olarak da bilinir. düzenlenmiştir.
Permütasyonlar ve Faktörler
bir permutasyon bir kümedeki öğelerin belirli, benzersiz bir düzenidir. Örneğin, {1, 2, 3} kümesinin üç öğe içeren altı permütasyonu vardır, çünkü bu öğeleri aşağıdaki altı şekilde yazabiliriz:
- 1, 2, 3
- 1, 3, 2
- 2, 3, 1
- 2, 1, 3
- 3, 2, 1
- 3, 1, 2
Bu gerçeği 3 denklemi ile de ifade edebiliriz! = 6, tüm permütasyon kümesinin faktöryel bir temsilidir. Benzer şekilde 4 tane var! = Dört elementli ve 5'li bir setin 24 permütasyonu! = Beş elementli bir kümenin 120 permütasyonu. Faktöriyel hakkında düşünmenin alternatif bir yolu, n doğal bir sayı ol ve şunu söyle n! ile bir set için permütasyon sayısıdır n elementler.
Faktöriyeli bu şekilde düşünerek, birkaç örneğe daha bakalım. Bir set iki element ile vardır iki permütasyon: {a, b} a, b veya b, a şeklinde düzenlenebilir. Bu 2'ye karşılık gelir! = 2. Bir elemanlı bir kümenin tek bir permütasyonu vardır, çünkü {1} kümesindeki 1 elemanı sadece bir şekilde sipariş edilebilir.
Bu bizi sıfır faktöriyele getiriyor. Sıfır elemanlı kümeye boş küme. Sıfır faktöriyel değerini bulmak için “Unsur içermeyen bir seti kaç yol sipariş edebiliriz?” Diye soruyoruz. Burada düşüncemizi biraz uzatmamız gerekiyor. Bir düzene konacak hiçbir şey olmamasına rağmen, bunu yapmanın bir yolu vardır. Böylece 0 var! = 1.
Formüller ve Diğer Doğrulamalar
0! Tanımının başka bir nedeni = 1, permütasyonlar ve kombinasyonlar için kullandığımız formüllerle ilgilidir. Bu, sıfır faktörünün neden bir olduğunu açıklamaz, ancak 0 ayarının neden olduğunu gösterir! = 1 iyi bir fikirdir.
Kombinasyon, bir kümenin elemanlarının düzen dikkate alınmadan gruplandırılmasıdır. Örneğin, {1, 2, 3} kümesini göz önünde bulundurun, burada üç elemandan oluşan bir kombinasyon vardır. Bu unsurları nasıl düzenlersek düzenleriz, aynı kombinasyonu elde ederiz.
Kullanırız kombinasyonlar için formül Üç elemanın birer birer üçü bir araya getirilmiş ve 1 = C (3, 3) = 3!/(3! 0!) Ve 0'a bakarsak! bilinmeyen bir miktar olarak ve cebirsel olarak çözmek, biz 3 görüyoruz! 0! = 3! ve böylece 0! = 1.
0! = 1 doğrudur, ancak yukarıdaki nedenler en açık olanıdır. Matematikteki genel fikir, yeni fikirler ve tanımlar inşa edildiğinde, diğer matematik ile tutarlı ve sıfır faktöriyel tanımında tam olarak gördüğümüz şey eşittir.