Dalgaların Matematiksel Özellikleri

Fiziksel dalgalar, veya mekanik dalgalarbir ortamın titreşimi yoluyla oluşur, ister bir dize, ister Dünya'nın kabuğu veya gaz ve sıvı parçacıkları olsun. Dalgalar, dalganın hareketini anlamak için analiz edilebilen matematiksel özelliklere sahiptir. Bu makalede, fizikteki belirli durumlarda nasıl uygulanacağı yerine bu genel dalga özellikleri tanıtılmaktadır.

İki tür mekanik dalga vardır.

A, ortamın yer değiştirmesinin, dalganın ortam boyunca hareket yönüne dik (enine) olacağı şekildedir. Bir ipi periyodik hareketle titreştirmek, böylece dalgalar onun boyunca hareket etmek, okyanustaki dalgalar gibi enine bir dalgadır.

bir boyuna dalga "Ortam" yer değiştirmeleri, dalganın kendisi ile aynı doğrultuda ileri geri hareket edecek şekildedir. Hava parçacıklarının hareket yönünde itildiği ses dalgaları, uzunlamasına bir dalga örneğidir.

Bu makalede tartışılan dalgalar bir ortamda seyahat etmeyi ifade etse de, burada tanıtılan matematik mekanik olmayan dalgaların özelliklerini analiz etmek için kullanılabilir. Örneğin, elektromanyetik radyasyon boş alanda dolaşabilir, ancak yine de diğer dalgalarla aynı matematiksel özelliklere sahiptir. Örneğin,

1. Dalgalar, genellikle dinlenme halindeki bir denge durumu çevresindeki ortamda bir rahatsızlık olarak görülebilir. Bu rahatsızlığın enerjisi, dalga hareketine neden olan şeydir. Dalga olmadığı zaman bir su havuzu dengededir, ancak içine bir taş atılır atmaz, parçacıkların dengesi bozulur ve dalga hareketi başlar.
2. Dalganın rahatsızlığı hareket eder veya ilerlemektedir, belirli bir hızda, dalga hızı (v).
3. Dalgalar enerjiyi taşır, ama önemli değildir. Ortamın kendisi seyahat etmiyor; münferit parçacıklar denge konumu etrafında ileri geri ya da yukarı ve aşağı hareket eder.

Dalga hareketini matematiksel olarak tanımlamak için, dalga fonksiyonubu, herhangi bir zamanda ortamdaki bir parçacığın konumunu tarif eder. Dalga fonksiyonlarının en temel şekli sinüs dalgası veya sinüzoidal dalgadır. periyodik dalga (yani tekrarlayan hareketi olan bir dalga).

Dalga fonksiyonunun fiziksel dalgayı tasvir etmediğini, bunun yerine denge konumu hakkındaki yer değiştirmenin bir grafiğini not etmek önemlidir. Bu kafa karıştırıcı bir kavram olabilir, ancak yararlı olan şey, periyodiklerin çoğunu tasvir etmek için sinüzoidal bir dalga kullanabilmemizdir. bir dairede hareket etmek veya bir sarkaç sallamak gibi, gerçekleri görüntülediğinizde mutlaka dalga gibi görünmeyen hareketler hareket.

• dalga hızı (v) - dalganın yayılma hızı
• genlik (bir) - SI birimler cinsinden dengeden maksimum yer değiştirmenin büyüklüğü. Genel olarak, dalganın denge orta noktasından maksimum yer değiştirmesine olan mesafedir veya dalganın toplam yer değiştirmesinin yarısıdır.
• dönem (T) - SI dalgası saniye cinsinden ("döngü başına saniye" olarak ifade edilebilir) bir dalga döngüsü (iki atım veya tepeden tepeye veya çukurdan çukura) zamanıdır.
• Sıklık (f) - bir birimdeki döngü sayısı. SI frekans birimi hertz (Hz) ve

  1 Hz = 1 döngü / s = 1 s^-1

• açısal frekans (ω) - 2'dirπ saniyede radyanın SI birimi cinsinden frekansın çarpımı.
• dalga boyu (λ) - dalgadaki birbirini takip eden tekrarlamalarda karşılık gelen konumlardaki herhangi iki nokta arasındaki mesafe, yani (örneğin) bir tepe veya oluktan diğerine, SI birimleri metre.
• dalga sayısı (k) - aynı zamanda yayılma sabiti, bu yararlı miktar 2 olarak tanımlanır π dalgaboyuna bölünür, böylece SI birimleri metre başına radyanlardır.
• nabız - dengeden geriye doğru bir yarım dalga boyu

Yukarıdaki miktarları tanımlamak için bazı yararlı denklemler şunlardır:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Dalga üzerindeki bir noktanın dikey konumu, y, yatay konumun bir fonksiyonu olarak bulunabilir, xve zaman, t, baktığımızda. Bu işi bizim için yaptıkları için nazik matematikçilerimize teşekkür ediyoruz ve dalga hareketini tanımlamak için aşağıdaki yararlı denklemleri elde ediyoruz:

y(x, t) = bir günah ω(t - x/v) = bir günah 2π f(t - x/v)

y(x, t) = bir günah 2π(t/T - x/v)

y (x, t) = bir günah (ω t - kx)

Dalga fonksiyonunun son bir özelliği, hesap ikinci türevi almak dalga denklemiilgi çekici ve bazen yararlı bir ürün olan (bir kez daha, matematikçilere teşekkür etmeden ve kanıtlamadan kabul edeceğiz):

d²y / dx² = (1 / v²) d²y / dt²

İkinci türev y göre x 'nin ikinci türevine eşdeğerdir y göre t kare hızına bölünür. Bu denklemin temel faydası ne zaman meydana gelirse, fonksiyonun y dalga hızıyla dalga görevi görür v ve bu nedenle, durum dalga fonksiyonu kullanılarak tanımlanabilir.