Olasılıklar ve Yalancının Zarları

Pek çok şans oyunu olasılık matematiği kullanılarak analiz edilebilir. Bu yazıda, oyunun Liar's Dice adlı çeşitli yönlerini inceleyeceğiz. Bu oyunu tanımladıktan sonra, onunla ilgili olasılıkları hesaplayacağız.

Liar’ın Zar oyunu aslında blöf ve aldatmaca içeren bir oyun ailesidir. Bu oyunun çeşitli varyantları var ve Korsan Zar, Aldatma ve Dudo gibi birkaç farklı isimle gidiyor. Bu oyunun bir versiyonu Karayip Korsanları: Ölü Adamın Sandığı filminde yer aldı.

İnceleyeceğimiz oyunun versiyonunda, her oyuncunun bir kupası ve aynı sayıda zarı vardır. Zarlar, bir ila altı arasında numaralandırılan standart, altı taraflı zarlardır. Herkes zarlarını çevirir ve onları kupa ile kaplar. Uygun zamanda, bir oyuncu zarlarını inceler ve onları diğer herkesten gizli tutar. Oyun, her oyuncunun kendi zarları hakkında mükemmel bilgiye sahip olması, ancak yuvarlanan diğer zarlar hakkında hiçbir bilgisi olmaması için tasarlanmıştır.

Herkes yuvarlanan zarlarına bakma fırsatı bulduktan sonra teklif vermeye başlar. Her turda bir oyuncunun iki seçeneği vardır: daha yüksek bir teklif verin veya önceki teklifi yalan söyleyin. Teklifler, bir ila altı arasında daha yüksek bir zar değeri teklif ederek veya aynı zar değerinden daha fazla sayıda teklif vererek daha yüksek yapılabilir.

Örneğin, "Dört ikişer" belirtilerek "Üç ikişer" teklif artırılabilir. Ayrıca arttırılabilir “Üç üçlü” diyerek. Genel olarak, ne zar sayısı ne de zarların değerleri azalabilir.

Zarların çoğu görünmez olduğundan, bazı olasılıkların nasıl hesaplanacağını bilmek önemlidir. Bunu bilerek, hangi tekliflerin gerçek ve hangilerinin yalan olabileceğini görmek daha kolaydır.

İlk düşünce, “Aynı türden kaç zar beklenir?” Sorusunu sormaktır. Örneğin, beş zar atarsak, bunlardan kaç tanesinin iki olmasını bekleriz? Bu sorunun cevabı şu fikri kullanır: beklenen değer.

Rasgele bir değişkenin beklenen değeri, belirli bir değerin bu değerle çarpılması olasılığıdır.

İlk kalıbın iki olma olasılığı 1/6'dır. Zarlar birbirinden bağımsız olduğu için, bunlardan ikisinin olma olasılığı 1/6'dır. Bu, beklenen iki ip sayısının 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6 olduğu anlamına gelir.

Tabii ki, ikisinin sonucu hakkında özel bir şey yok. Ayrıca düşündüğümüz zar sayısı hakkında özel bir şey de yok. Eğer yuvarlanırsak n Zar, altı olası sonuçtan herhangi birinin beklenen sayısı n/6. Bu numarayı bilmek iyidir, çünkü başkaları tarafından yapılan teklifleri sorgularken bize bir taban çizgisi verir.

Örneğin, altı zarla yalancının zarlarını oynuyorsak, 1 ile 6 arasındaki değerlerden herhangi birinin beklenen değeri 6/6 = 1'dir. Bu, birisi herhangi bir değerin birden fazlasını teklif ederse şüpheci olmamız gerektiği anlamına gelir. Uzun vadede, olası değerlerin her birinin ortalamasını alırız.

Beş zar attığımızı ve iki üç zar atma olasılığını bulmak istediğimizi varsayalım. Bir kalıbın üç olma olasılığı 1/6'dır. Bir kalıbın üç olmaması olasılığı 5/6'dır. Bu zarların ruloları bağımsız olaylardır ve bu nedenle olasılıkları çarpma kuralı.

İlk iki zarın üçlü ve diğer zarların üçlü olmaması olasılığı aşağıdaki ürün tarafından verilir:

(1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6)

Üçlü olmak için ilk iki zar sadece bir olasılıktır. Üçlü zar, yuvarladığımız beş zardan herhangi biri olabilir. Üç olmayan bir ölümü a * işaret ediyoruz. Beş rulodan iki üçlü elde etmenin olası yolları şunlardır:

• 3, 3, *, * ,*
• 3, *, 3, * ,*
• 3, *, * ,3 ,*
• 3, *, *, *, 3
• *, 3, 3, *, *
• *, 3, *, 3, *
• *, 3, *, *, 3
• *, *, 3, 3, *
• *, *, 3, *, 3
• *, *, *, 3, 3

Beş zardan iki üçünü yuvarlamanın on yolu olduğunu görüyoruz.

Şimdi yukarıdaki olasılıklarımızı, bu zar konfigürasyonuna sahip olabileceğimiz 10 yolla çarpıyoruz. Sonuç 10 x (1/6) x (1/6) x (5/6) x (5/6) x (5/6) = 1250/7776 olur. Bu yaklaşık% 16'dır.

Şimdi yukarıdaki örneği genelleştiriyoruz. Yuvarlanma olasılığını düşünüyoruz n zar ve tam olarak elde k belli bir değere sahip.

Daha önce olduğu gibi, istediğimiz sayıyı yuvarlama olasılığı 1/6. Bu sayıyı yuvarlamama olasılığı, tamamlayıcı kural 5/6 olarak. İstiyoruz k zarımızın seçilen sayı olması gerekir. Bunun anlamı şudur ki n - k istediğimiz sayı dışında bir sayı. İlk olasılık k zar diğer zar ile belirli bir sayı olmak, bu sayı değil:

(1/6)^k(5/6)^{n - k}

Belirli bir zar konfigürasyonunu yuvarlamak için tüm olası yolları listelemek zaman alıcı bir şeyden bahsetmek sıkıcı olabilir. Bu yüzden sayma ilkelerimizi kullanmak daha iyidir. Bu stratejiler sayesinde, kombinasyonlar.

C (n, k) yuvarlanma yolları k belli bir zar n zar. Bu sayı formülle verilir n!/(k!(n - k)!)

Her şeyi bir araya getirdiğimizde, n zar, tam olarak k bunlardan belirli bir sayı formülle verilir:

[n!/(k!(n - k)!)] (1/6)^{k(5/6)n - k}

Bu tür bir sorunu ele almanın başka bir yolu var. Bu, Binom dağılımı tarafından verilen başarı olasılığı ile p = 1/6. Tam olarak formül k bu zarların belirli bir sayı olması binom için olasılık kütle fonksiyonu olarak bilinir dağıtım.

Dikkate almamız gereken diğer bir durum, belirli bir değerin en azından belirli bir sayısının yuvarlanma olasılığıdır. Örneğin, beş zar attığımızda en az üç zar atma olasılığı nedir? Üç tane, dört tane ya da beş tane yuvarlayabiliriz. Bulmak istediğimiz olasılığı belirlemek için üç olasılık ekliyoruz.

Aşağıda tam olarak elde etmek için bir olasılık tablosu var k Beş zar attığımızda

Sonra, aşağıdaki tabloyu ele alacağız. Toplam beş zar attığımızda en az belirli bir değerde yuvarlanma olasılığı verir. En az bir 2 yuvarlama olasılığı çok yüksek olmasına rağmen, en az dört 2 yuvarlanma olasılığı düşüktür.