Poisson Dağılımındaki Varyans Nasıl Hesaplanır

Rastgele bir değişkenin dağılımının varyansı önemli bir özelliktir. Bu sayı, bir dağılımın yayılımını gösterir ve standart sapma. Yaygın olarak kullanılan bir ayrık dağıtım Poisson dağılımıdır. İsson parametresi ile Poisson dağılımının varyansının nasıl hesaplanacağını göreceğiz.

Poisson dağılımları, bir çeşit sürekliliğimiz olduğunda ve bu süreklilik içinde farklı değişiklikleri sayarsak kullanılır. Bu, bir saat içinde bir film bilet sayacına gelen kişi sayısını düşündüğümüzde, dört yollu bir kavşaktan geçen arabaların sayısı veya uzunluğunda meydana gelen kusurların sayısını tel.

Bu senaryolarda birkaç açıklayıcı varsayım yaparsak, bu durumlar Poisson sürecinin koşullarıyla eşleşir. Daha sonra, değişiklik sayısını sayan rastgele değişkenin Poisson dağılımına sahip olduğunu söylüyoruz.

Poisson dağılımı aslında sonsuz bir dağılım ailesini ifade eder. Bu dağılımlar tek bir parametre λ ile donatılmıştır. Parametre pozitif gerçek Numara süreklilikte gözlemlenen beklenen değişiklik sayısı ile yakından ilgilidir. Ayrıca, bu parametrenin yalnızca

Poisson dağılımı için olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde verilir:

f(x) = (λxe-λ)/x!

Bu ifadede, mektup e bir sayı ve yaklaşık 2.718281828'e eşit bir değere sahip olan matematiksel sabittir. Değişken x negatif olmayan bir tamsayı olabilir.

Poisson dağılımının ortalamasını hesaplamak için bu dağılımın moment üreten fonksiyon. Görüyoruz ki:

M( t ) = E [etX] = Σ etXf( x) = ΣetX λxe-λ)/x!

Şimdi Maclaurin serisini e^u. Fonksiyonun herhangi bir türevi olduğundan e^u dır-dir e^u, sıfır olarak değerlendirilen bu türevlerin hepsi bize 1 verir. Sonuç seri e^u = Σ uⁿ/n!.

Maclaurin serisini e^u, moment üreten fonksiyonu bir seri olarak değil, kapalı bir biçimde ifade edebiliriz. Tüm terimleri, x. Böylece M(t) = e^{λ(et - 1)}.

Şimdi varyansı ikinci türevi alarak buluyoruz M ve bunu sıfır olarak değerlendirme. Dan beri M’(t) =λe^tM(t), ikinci türevi hesaplamak için ürün kuralını kullanırız:

M’’(t)=λ2e2tM’(t) + λetM(t)

Bunu sıfır olarak değerlendiririz ve buluruz M’’(0) = λ² + λ. Daha sonra şu gerçeği kullanırız: M’(0) = λ varyansı hesaplamak için.

var (X) = λ2 + λ – (λ)2 = λ.

Bu, λ parametresinin sadece Poisson dağılımının ortalaması olmadığını, aynı zamanda varyansının da olduğunu gösterir.