Yahtzee oyunu beş standart zar kullanımını içerir. Her turda oyunculara üç rulo verilir. Her rulodan sonra, bu zarların belirli kombinasyonlarını elde etmek amacıyla herhangi bir sayıda zar tutulabilir. Her farklı kombinasyon farklı puanlara değer.
Bu tür kombinasyonlardan birine tam ev denir. Poker oyununda tam bir ev gibi, bu kombinasyon belirli bir sayıdan üçünü ve bir çift farklı sayıyı içerir. Yahtzee, zarların rastgele yuvarlanmasını içerdiğinden, bu oyun, bir tam evi tek bir ruloda yuvarlamanın ne kadar olası olduğunu belirlemek için olasılık kullanılarak analiz edilebilir.
Varsayımlar
Varsayımlarımızı belirterek başlayacağız. Kullanılan zarların adil ve birbirinden bağımsız olduğunu varsayıyoruz. Bu, beş zarın tüm olası rulolarından oluşan tek tip bir numune alanımız olduğu anlamına gelir. Yahtzee oyunu üç ruloya izin verse de, sadece tek bir ruloda tam bir ev elde ettiğimiz durumu ele alacağız.
Örnek Alan
Bir ile çalıştığımız için üniformaörnekleme alanı, olasılığımızın hesaplanması birkaç sayım probleminin hesaplanması haline gelir. Tam bir evin olasılığı, bir tam evi yuvarlamanın yollarının sayısının, numune alanındaki sonuçların sayısına bölünmesiyle elde edilir.
Örnek uzayındaki sonuçların sayısı basittir. Beş zar olduğundan ve bu zarların her biri altı farklı sonuçtan birine sahip olabileceğinden, örnek uzayındaki sonuçların sayısı 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6'dır.5 = 7776.
Bina Sayısı
Daha sonra, bir tam evi yuvarlamanın yollarını hesaplıyoruz. Bu daha zor bir problem. Tam bir eve sahip olmak için, bir çeşit zardan üçüne, ardından da bir çift farklı zar türüne ihtiyacımız var. Bu sorunu iki kısma ayıracağız:
- Yuvarlanabilecek farklı tipteki tam evlerin sayısı nedir?
- Belirli bir tam ev türünün haddelenebileceği yol sayısı nedir?
Bunların her birinin sayısını öğrendikten sonra, bize sarılabilecek toplam tam ev sayısını vermek için onları çoğaltabiliriz.
Yuvarlanabilecek farklı tipteki tam evlerin sayısına bakarak başlıyoruz. 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarının herhangi biri, üçünün aynısı için kullanılabilir. Çift için kalan beş sayı var. Böylece yuvarlanabilecek 6 x 5 = 30 farklı tipte tam ev kombinasyonu vardır.
Örneğin, bir tür tam ev olarak 5, 5, 5, 2, 2 olabilir. Başka bir tam ev tipi 4, 4, 4, 1, 1 olacaktır. Bir diğeri de, önceki tam evden farklı olan 1, 1, 4, 4, 4 olacaktır, çünkü dörtlerin ve bunların rolleri değiştirildi.
Şimdi belirli bir tam evi yuvarlamanın farklı yollarını belirliyoruz. Örneğin, aşağıdakilerin her biri bize üç ve iki dörtlü aynı evi verir:
- 4, 4, 4, 1, 1
- 4, 1, 4, 1, 4
- 1, 1, 4, 4, 4
- 1, 4, 4, 4, 1
- 4, 1, 4, 4, 1
Belirli bir tam evi yuvarlamanın en az beş yolu olduğunu görüyoruz. Başkaları var mı? Başka olasılıkları listelemeye devam etsek bile, hepsini bulduğumuzu nasıl biliyoruz?
Bu soruları yanıtlamanın anahtarı, bir sayım problemi ile uğraştığımızı anlamak ve ne tür bir sayım problemi ile çalıştığımızı belirlemektir. Beş pozisyon vardır ve bunlardan üçü dördü ile doldurulmalıdır. Dört pozisyonumuzu yerleştirme sırası, kesin pozisyonlar dolduğu sürece önemli değil. Dörtlü pozisyonu belirlendiğinde, dörtlü otomatik olarak yerleştirilir. Bu nedenlerden dolayı, kombinasyon beş pozisyondan her seferinde üç tane aldı.
Kombinasyon formülünü kullanarak C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Bu, belirli bir tam evi yuvarlamanın 10 farklı yolu olduğu anlamına gelir.
Tüm bunları bir araya getirerek, tam ev sayımız var. Bir ruloda tam bir ev almanın 10 x 30 = 300 yolu vardır.
olasılık
Şimdi tam ev olasılığı basit bir bölünme hesaplamasıdır. Tam bir evi tek bir ruloda yuvarlamanın 300 yolu olduğundan ve beş zardan oluşan 7776 rulo mümkün olduğundan, tam bir evin yuvarlanma olasılığı 300/7776'dır ve bu da 1/26 ve% 3,85'e yakındır. Bu, bir Yahtzee'yi tek bir rulo halinde yuvarlamaktan 50 kat daha olasıdır.
Tabii ki, ilk rulo tam bir ev değildir. Bu durumda, tam bir evi çok daha muhtemel hale getiren iki ruloya daha izin verilir. Bunun olasılığı, dikkate alınması gereken tüm olası durumlar nedeniyle belirlenmesi için çok daha karmaşıktır.