Bir ders kitabında basılan veya bir öğretmen tarafından tahtaya yazılan formülleri gördükten sonra, bazen şaşırtıcı olabilir bu formüllerin çoğunun bazı temel tanımlardan ve dikkatli düşünceden türetilebileceğini bulmak için. Bu, özellikle kombinasyonlar için formülü incelerken doğrudur. Bu formülün türetilmesi gerçekten çarpma prensibine dayanmaktadır.
Çarpma Prensibi
Yapılması gereken bir görev olduğunu ve bu görevin toplam iki adıma bölüneceğini varsayalım. İlk adım k yolları ve ikinci adım n yolları. Bu demek oluyor ki çoğaltan bu sayıları birlikte, görevi gerçekleştirmenin yollarının sayısı nk.
Örneğin, seçebileceğiniz on çeşit dondurma ve üç farklı Toping varsa, kaç tane kepçe, bir tepesi dondurma yapabilirsiniz? 30 gün elde etmek için üç ile 10'u çarp.
Permütasyonlar Oluşturma
Şimdi, çarpım prensibini kullanarak r bir dizi alınan öğeleri n elementler. İzin Vermek P (n, r) sayısını belirtmek permütasyon nın-nin r bir dizi öğeleri n ve C (n, r) kombinasyon sayısını belirtmek r bir dizi öğeleri n elementler.
Bir permütasyon oluştururken neler olduğunu düşünün r toplam elemanlar n. Buna iki aşamalı bir süreç olarak bakın. İlk olarak, bir dizi seçin r bir dizi öğeleri n. Bu bir kombinasyon ve C(n, r) bunu yapmanın yolları. Sürecin ikinci adımı, r elemanları r ilk tercihler, r - İkincisi için 1 seçenek, r - Üçüncü için 2, sondan bir önceki için 2 ve son için 1 seçenek. Çarpma ilkesine göre, r x (r -1) x... x 2 x 1 = r! bunu yapmanın yolları. Bu formül faktöriyel gösterim.
Formülün Elde Edilmesi
Özetlemek gerekirse, P(n,r ), bir permütasyon oluşturmanın yollarının sayısı r toplam elemanlar n Tarafından belirlenir:
- Bir kombinasyon oluşturmak r toplam dışı elemanlar n herhangi birinde C(n,r ) yollar
- Bunları sipariş etme r elemanlarından herhangi biri r! yolları.
Çarpma ilkesine göre, bir permütasyon oluşturmanın yollarının sayısı P(n,r ) = C(n,r ) x r!.
Permütasyonlar için formülü kullanma P(n,r ) = n!/(n - r)!, yukarıdaki formüle konulabilir:
n!/(n - r)! = C(n,r ) r!.
Şimdi bunu, kombinasyon sayısını, C(n,r ) ve bakın C(n,r ) = n!/[r!(n - r)!].
Gösterildiği gibi, biraz düşünce ve cebir uzun bir yol kat edebilir. Olasılık ve istatistikteki diğer formüller, tanımların bazı dikkatli uygulamalarıyla da elde edilebilir.