Matematik ve İstatistikte Faktöriyel (!)

Matematikte, İngilizce dilinde belirli anlamlar çok özel ve farklı şeyler ifade edebilir. Örneğin, aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

3!

Hayır, Ünlem işareti üç kişiyi heyecanlandırdığımızı göstermek için ve son cümleyi vurgulamamalıyız. Matematikte 3 ifadesi! "üç faktöriyel" olarak okunur ve birbirini takip eden birkaç tam sayının çarpımını ifade etmenin kısa bir yoludur.

Matematik ve istatistik boyunca sayıları bir araya getirmemiz gereken birçok yer olduğundan, faktöriyel oldukça yararlıdır. Gösterildiği ana yerlerden bazıları kombinatorik ve olasılıktır hesap.

Faktörün tanımı, herhangi bir pozitif tam sayı için n, faktöryel:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x... x 2 x 1

İlk olarak, faktöriyelin küçük değerlerine sahip birkaç örneğine bakacağız n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Gördüğümüz gibi faktöriyel çok çabuk büyüyor. 20 gibi küçük görünen bir şey! aslında 19 basamaklıdır.

Faktörlerin hesaplanması kolaydır, ancak hesaplanması biraz yorucu olabilir. Neyse ki, birçok hesap makinesinin faktöriyel anahtarı vardır (! Sembol). Hesap makinesinin bu işlevi çarpımları otomatik hale getirecektir.

Faktöriyelin bir diğer değeri ve yukarıdaki standart tanımın sahip olmadığı bir değer sıfır faktöryel. Formülü takip edersek, 0 için herhangi bir değere ulaşmazdık. 0'dan küçük pozitif tam sayılar yoktur. Birkaç nedenden dolayı, 0 tanımlamak uygundur! = 1. Bu değerin faktöriyeli, özellikle aşağıdaki formüllerde gösterilir: kombinasyonlar ve permütasyonlar.

Hesaplamalarla uğraşırken, hesap makinemizdeki faktöryel tuşa basmadan önce düşünmek önemlidir. 100! / 98! Gibi bir ifadeyi hesaplamak için. bununla ilgili birkaç farklı yol var.

Bunun bir yolu, hesap makinesi her ikisini de bulmak için! ve 98!, sonra birini diğerine ayırın. Bu hesaplamanın doğrudan bir yolu olmasına rağmen, onunla ilişkili bazı zorlukları vardır. Bazı hesap makineleri 100'e kadar olan ifadeleri işleyemez! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (İfade 10¹⁵⁷ bilimsel bir gösterimdir, bu da 1 ile ve ardından 157 sıfır ile çarptığımız anlamına gelir.) Sadece bu sayı çok büyük değil, aynı zamanda sadece 100'ün gerçek değerine bir tahmindir!

Burada görülen gibi faktöriyellerle bir ifadeyi basitleştirmenin başka bir yolu da bir hesap makinesi gerektirmez. Bu soruna yaklaşmanın yolu, 100'ü yeniden yazabileceğimizi tanımaktır! 100 x 99 x 98 x 97 x kadar değil... x 2 x 1, bunun yerine 100 x 99 x 98! 100! / 98 ifadesi! şimdi (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.