Kombinasyonlar ve Permütasyonlar Nasıl Farklılaşır?

Matematik ve istatistik boyunca nasıl sayılacağını bilmemiz gerekir. Bu özellikle bazıları için geçerlidir olasılık sorunları. Diyelim ki bize toplam n farklı nesneler ve seçmek istiyorum r onları. Bu doğrudan sayma çalışması olan kombinatorik olarak bilinen bir matematik alanına değinir. Bunları saymanın ana yollarından ikisi r nesneler n elementlere permütasyon ve kombinasyonlar denir. Bu kavramlar birbiriyle yakından ilişkilidir ve kolayca karışır.

Bir kombinasyon ve permütasyon arasındaki fark nedir? Anahtar fikir düzendir. Bir permütasyon, nesnelerimizi seçtiğimiz sıraya dikkat eder. Aynı nesne seti, ancak farklı bir düzende ele alındığında, bize farklı permütasyonlar verecektir. Bir kombinasyonla, hala seçiyoruz r toplamdan nesneler n, ancak sipariş artık dikkate alınmıyor.

Bu fikirleri ayırt etmek için aşağıdaki örneği ele alacağız: setten iki harfin kaç permütasyonu olduğunu {a, b, c}?

Burada, siparişe dikkat ederken, verilen setteki tüm eleman çiftlerini listeleriz. Toplam altı permütasyon vardır. Tüm bunların listesi: ab, ba, bc, cb, ac ve ca. Permütasyon olarak

Şimdi şu soruyu cevaplayacağız: setten iki harften kaç kombinasyon var {a, b, c}?

Kombinasyonlarla uğraştığımızdan, artık siparişle ilgilenmiyoruz. Bu sorunu permütasyonlara geri dönüp aynı harfleri içerenleri ortadan kaldırarak çözebiliriz. Kombinasyon olarak, ab ve ba aynı kabul edilir. Böylece sadece üç kombinasyon vardır: ab, ac ve bc.

Daha büyük setlerle karşılaştığımız durumlarda, olası tüm permütasyonları veya kombinasyonları listelemek ve nihai sonucu saymak çok zaman alıcıdır. Neyse ki, bize izinlerin veya kombinasyonların sayısını veren formüller var. n alınan nesneler r zamanında.

Bu formüllerde, n! aranan nfaktöryel. Faktöriyel, tüm pozitif tam sayıları eşit veya daha küçük olarak çarpmayı söylüyor n birlikte. Mesela 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Tanım olarak 0! = 1.

Permütasyon sayısı n alınan nesneler r bir kerede formül tarafından verilir:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Kombinasyon sayısı n alınan nesneler r bir kerede formül tarafından verilir:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Formülleri iş başında görmek için ilk örneğe bakalım. Bir seferde iki tane alınan üç nesne kümesinin permütasyon sayısı, P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Bu, tüm permütasyonları listeleyerek elde ettiğimizle tam olarak eşleşir.

Bir seferde iki tane alınan üç nesne kümesinin kombinasyon sayısı şu şekilde verilir:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Yine, bu tam olarak daha önce gördüklerimizle aynı çizgide.

Formüller, daha büyük bir kümenin permütasyon sayısını bulmamız istendiğinde kesinlikle zaman kazandırır. Örneğin, bir seferde üç tane alınan on nesne setinden kaç tane permütasyon var? Tüm permütasyonları listelemek biraz zaman alacaktı, ancak formüllerle, şunu göreceğiz:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permütasyon.

Permütasyonlar ve kombinasyonlar arasındaki fark nedir? Sonuç olarak, bir sipariş içeren sayım durumlarında permütasyonların kullanılması gerektiğidir. Sipariş önemli değilse, kombinasyonlar kullanılmalıdır.