Chuck-a-Luck için Beklenen Değer

Chuck-a-Luck bir şans oyunudur. Üç zar bazen tel çerçeve içinde yuvarlanır. Bu çerçeve nedeniyle, bu oyuna kuş kafesi de denir. Bu oyun casinolardan ziyade karnavallarda daha sık görülür. Ancak, rastgele zar kullanımı nedeniyle, bu oyunu analiz etmek için olasılık kullanabiliriz. Daha spesifik olarak bu oyunun beklenen değerini hesaplayabiliriz.

Bahis yapmak mümkün olan çeşitli bahis türleri vardır. Sadece tek sayılık bahisleri dikkate alacağız. Bu bahiste sadece bir ila altı arasında belirli bir sayı seçiyoruz. Sonra zarları atarız. Olanakları düşünün. Bunlardan ikisi, ikisi, biri ya da hiçbiri seçtiğimiz sayıyı gösterebilir.

Bu oyunun aşağıdakileri ödeyeceğini varsayalım:

• Üç zar da seçilen sayı ile eşleşirse 3 $.
• Seçilen sayı ile tam olarak iki zar eşleşirse 2 $.
• Zarlardan biri seçilen sayıyla tam olarak eşleşiyorsa 1 $.

Zarların hiçbiri seçilen sayı ile eşleşmezse, 1 $ ödemek zorundayız.

Bu oyunun beklenen değeri nedir? Başka bir deyişle, uzun vadede bu oyunu tekrar tekrar oynarsak ortalama ne kadar kazanmayı veya kaybetmeyi bekleriz?

Bu oyunun beklenen değerini bulmak için dört olasılık belirlememiz gerekiyor. Bu olasılıklar dört olası sonuca karşılık gelir. Her ölünün diğerlerinden bağımsız olduğunu not ediyoruz. Bu bağımsızlık nedeniyle çarpma kuralını kullanıyoruz. Bu, sonuçların sayısını belirlememize yardımcı olacaktır.

Ayrıca zarların adil olduğunu varsayıyoruz. Üç zarın her birindeki altı tarafın her birinin eşit şekilde yuvarlanması muhtemeldir.

Bu üç zarın yuvarlanmasından 6 x 6 x 6 = 216 olası sonuç vardır. Bu sayı tüm olasılıklarımız için payda olacaktır.

Üç zarı da seçilen sayıyla eşleştirmenin bir yolu vardır.

Tek bir kalıbın seçtiğimiz sayıya uymaması için beş yol vardır. Bu, zarlarımızın hiçbirinin seçilen sayıya uymaması için 5 x 5 x 5 = 125 yol olduğu anlamına gelir.

Zar eşleşmelerinden tam olarak ikisini düşünürsek, eşleşmeyen bir ölüme sahibiz.

• İlk iki zarın numaramızla ve üçüncünün farklı olması için 1 x 1 x 5 = 5 yol vardır.
• Birinci ve üçüncü zarların eşleşmesi için 1 x 5 x 1 = 5 yol vardır, ikincisi farklıdır.
• İlk kalıbın farklı olmasının, ikinci ve üçüncünün eşleşmesi için 5 x 1 x 1 = 5 yol vardır.

Bu, tam olarak iki zarın eşleşmesi için toplam 15 yol olduğu anlamına gelir.

Şimdi sonuçlarımızdan biri dışında hepsini elde etmenin yollarını hesapladık. 216 rulo mümkün. Bunların 1 + 15 + 125 = 141'ini oluşturduk. Bu, kalan 216 -141 = 75 olduğu anlamına gelir.

Yukarıdaki tüm bilgileri topluyor ve görüyoruz:

• Sayımızın üç zarın hepsiyle eşleşme olasılığı 1/216'dır.
• Sayımızın tam olarak iki zarla eşleşmesi olasılığı 15/216'dır.
• Sayımızın bir kalıpla tam olarak karşılaşma olasılığı 75/216'dır.
• Sayımızın zarların hiçbiriyle eşleşmeme olasılığı 125/216 değildir.

Şimdi hesaplamaya hazırız beklenen değer bu durum. beklenen değer için formül olayın gerçekleşmesi durumunda her olayın olasılığını net kazanç veya kayıp ile çarpmamızı gerektirir. Daha sonra tüm bu ürünleri bir araya getiriyoruz.

Beklenen değerin hesaplanması aşağıdaki gibidir:

(3)(1/216) + (2)(15/216) +(1)(75/216) +(-1)(125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125/216 = -17/216

Bu yaklaşık - 0.08 dolar. Yorum, bu oyunu tekrar tekrar oynayacak olsaydık, her oynadığımızda ortalama 8 sent kaybederiz.