Asal Bir Sayı Seçme Olasılığı

Sayı teorisi, matematik kendini tamsayılar kümesiyle ilgilendirir. İrrasyonel sayılar gibi diğer sayıları doğrudan incelemediğimiz için bunu yaparak kendimizi biraz kısıtlıyoruz. Ancak, diğer gerçek sayılar kullanılmış. Buna ek olarak, olasılık konusu sayı teorisi ile birçok bağlantıya ve kavşağa sahiptir. Bu bağlantılardan birinin, asal sayılar. Daha spesifik olarak, 1'den rastgele seçilen bir tamsayının olasılığı nedir? x asal sayı nedir?

Herhangi bir matematik probleminde olduğu gibi, sadece hangi varsayımların yapıldığını değil, aynı zamanda problemdeki tüm anahtar terimlerin tanımlarını da anlamak önemlidir. Bu sorun için, 1, 2, 3 sayılarının tamamı anlamına gelen pozitif tamsayıları düşünüyoruz... bir sayıya kadar x. Bu sayılardan birini rastgele seçiyoruz, yani x bunların eşit derecede seçilmesi muhtemeldir.

Asal sayının seçilme olasılığını belirlemeye çalışıyoruz. Bu nedenle asal sayının tanımını anlamalıyız. Asal sayı, tam olarak iki faktörü olan pozitif bir tamsayıdır. Bu, asal sayıların tek bölenlerinin bir ve sayının kendisinin olduğu anlamına gelir. Yani 2,3 ve 5 asal sayılır, ancak 4, 8 ve 12 asal değildir. Bir asal sayıda iki faktör olması gerektiğinden, 1 sayısının

Bu sorunun çözümü düşük rakamlar için basittir x. Yapmamız gereken tek şey, eşit veya daha küçük olan prim sayısını saymaktır x. Asal sayısını eşit veya daha az böleriz x numarasına göre x.

Örneğin, bir asalın 1 ila 10 arasında seçilme olasılığını bulmak için asal sayısını 1'den 10'a bölmemizi gerektirir. 2, 3, 5, 7 sayıları asaldır, bu nedenle bir asal seçilme olasılığı 4/10 =% 40'tır.

Bir asalın 1 ila 50 arasında seçilme olasılığı benzer bir şekilde bulunabilir. 50'den küçük olan primerler şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 ve 47. 50'den az veya 50'ye eşit 15 primer vardır. Dolayısıyla, bir asalın rasgele seçilme olasılığı 15/50 =% 30'dur.

Bu işlem, primer listemiz olduğu sürece sadece primerlerin sayılmasıyla gerçekleştirilebilir. Örneğin, 100'den küçük veya 100'e eşit 25 primer vardır. (Böylece rastgele seçilen bir sayının 1'den 100'e kadar olması en önemli olasılık 25/100 =% 25'tir.) Ancak, bir listemiz yoksa asal olarak, belirli bir sayıdan küçük veya ona eşit olan asal sayı kümesini belirlemek hesaplama açısından göz korkutucu olabilir. numara x.

Eğer eşit veya daha az sayıda asal sayınız yoksa x, bu sorunu çözmenin alternatif bir yolu vardır. Çözüm, asal sayı teoremi olarak bilinen matematiksel bir sonucu içerir. Bu, primerlerin genel dağılımı hakkında bir açıklamadır ve belirlemeye çalıştığımız olasılığı yaklaşık olarak tahmin etmek için kullanılabilir.

Asal sayı teoremi yaklaşık olarak x / ln (x) eşit veya daha küçük asal sayılar x. İşte ln (x) doğal logaritmasını ifade eder. xveya başka bir deyişle, numara e. Değeri olarak x Asal sayıların arasındaki göreceli hatada bir azalma gördüğümüz için, x ve ifade x / ln (x).

Asal sayı teoreminin sonucunu ele almaya çalıştığımız sorunu çözmek için kullanabiliriz. Asal sayı teoremiyle biliyoruz ki yaklaşık olarak x / ln (x) eşit veya daha küçük asal sayılar x. Ayrıca, toplam x eşit veya daha küçük pozitif tamsayılar x. Bu nedenle, bu aralıkta rastgele seçilen bir sayının asal olma olasılığı (x / ln (x) ) /x = 1 / ln (x).

Şimdi bu sonucu, birinciden rastgele bir asal sayı seçme olasılığını tahmin etmek için kullanabiliriz milyar tamsayılar. Bir milyarın doğal logaritmasını hesaplıyoruz ve ln (1.000.000.000) yaklaşık 20.7 ve 1 / ln (1.000.000.000) yaklaşık 0.0483. Bu nedenle, ilk milyar tamsayıdan rastgele bir asal sayı seçme% 4,83 olasılıklarımız var.