Markov Eşitsizliği Nedir?

Markov’un eşitsizliği, olasılık dağılımı. Bununla ilgili dikkat çeken husus, eşitsizliğin, sahip olduğu diğer özellikler ne olursa olsun, pozitif değerlerle herhangi bir dağıtım için geçerli olmasıdır. Markov’un eşitsizliği, belirli bir değerin üzerinde olan dağılım yüzdesi için bir üst sınır vermektedir.

Markov’un eşitsizliği olumlu bir rastgele değişken için X ve herhangi bir olumlu gerçek Numarabir, olasılık X büyük veya eşit bir küçüktür veya eşittir beklenen değer nın-nin X bölü bir.

Yukarıdaki açıklama, matematiksel gösterim kullanılarak daha özlü bir şekilde ifade edilebilir. Sembollerde Markov’un eşitsizliğini şöyle yazıyoruz:

P (X ≥ bir) ≤ E( X) /bir

Eşitsizliği göstermek için, negatif olmayan değerlerle (örneğin, ki-kare dağılımı). Bu rastgele değişken X 3 beklenen değere sahipse, birkaç değer için olasılıklara bakacağız. bir.

• İçin bir = 10 Markov’daki eşitsizlik şöyle diyor: P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Yani% 30 olasılık var. X 10'dan büyük.
instagram viewer
• İçin bir = 30 Markov’daki eşitsizlik şöyle diyor: P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Yani% 10 olasılık var. X 30'dan büyük.
• İçin bir = 3 Markov’daki eşitsizlik şöyle diyor: P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. 1 =% 100 olasılığı olan olaylar kesindir. Bu, rastgele değişkenin bir değerinin 3'ten büyük veya ona eşit olduğunu söylüyor. Bu çok şaşırtıcı olmamalı. Eğer tüm değerleri X 3'ten küçükse, beklenen değer de 3'ten küçük olacaktır.
• Değeri olarak bir bölüm artar E(X) /bir küçülecek. Bu, olasılığın çok küçük olduğu anlamına gelir. X çok, çok büyük. Yine, beklenen değeri 3 ile, çok büyük değerlerle dağıtımın çoğunun olmasını beklemezdik.

Çalıştığımız dağıtım hakkında daha fazla bilgi sahibi olursak, genellikle Markov’un eşitsizliğini artırabiliriz. Kullanmanın değeri, negatif olmayan değerlerle herhangi bir dağıtım için tutmasıdır.

Örneğin, bir ilkokuldaki öğrencilerin ortalama yüksekliğini bilirsek. Markov’un eşitsizliği bize öğrencilerin altıda birinden fazlasının ortalama yüksekliğin altı katından daha yüksek bir yüksekliğe sahip olamayacağını söyler.

Markov’un eşitsizliğinin bir diğer önemli kullanımı da Chebyshev’in eşitsizliği. Bu gerçek “Chebyshev’in eşitsizliği” isminin de Markov’un eşitsizliğine uygulanmasına neden oluyor. Eşitsizliklerin isimlendirilmesindeki karışıklık da tarihsel koşullardan kaynaklanmaktadır. Andrey Markov, Pafnuty Chebyshev'in öğrencisiydi. Chebyshev’in çalışması Markov'a atfedilen eşitsizliği içeriyor.