Üstel Dağılımın Çarpıklığı Nedir?

Yaygın parametreler için olasılık dağılımı ortalama ve standart sapmayı içerir. Ortalama merkezin bir ölçümünü verir ve standart sapma dağılımın ne kadar yayıldığını gösterir. Bu iyi bilinen parametrelere ek olarak, forma veya merkez dışındaki özelliklere dikkat çeken başkaları da vardır. Böyle bir ölçüm, çarpıklık. Çarpıklık, dağılımın asimetrisine sayısal bir değer eklemenin bir yolunu sunar.

İnceleyeceğimiz önemli bir dağılım üstel dağılımdır. Üstel dağılımın çarpıklığının 2 olduğunu nasıl kanıtlayacağımızı göreceğiz.

Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirterek başlarız. Bu dağılımların her birinin ilgili parametreyle ilgili bir parametresi vardır. Poisson süreci. Bu dağılımı Exp (A) olarak belirtiyoruz, burada A parametredir. Bu dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(x) = e^{-x/ A}/ A, burada x negatif değildir.

Buraya e matematik mi sabit e yani yaklaşık 2.718281828. Üstel dağılım Exp (A) 'nın ortalama ve standart sapması A parametresiyle ilişkilidir. Aslında, ortalama ve standart sapma A'ya eşittir.

Çarpıklık, üçüncü momentle ilgili ortalama ile ilgili bir ifade ile tanımlanır. Bu ifade beklenen değerdir:

E [(X - μ)³/σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³)/σ³ = (E [X³] – 3μ(σ² – μ³)/σ³.

Μ ve σ'yı A ile değiştiririz ve sonuç, çarpıklığın E [X] olmasıdır.³] / A³ – 4.

Geriye kalan tek şey üçüncü an kökeni hakkında. Bunun için aşağıdakileri entegre etmemiz gerekir:

∫^∞₀x³f(x) dx.

Bu integralin sınırlarından biri için bir sonsuzluğu vardır. Böylece tip I uygun olmayan integral olarak değerlendirilebilir. Ayrıca hangi entegrasyon tekniğinin kullanılacağını da belirlemeliyiz. Entegrasyon işlevi polinom ve üstel bir fonksiyonun ürünü olduğundan, Parçalara göre entegrasyon. Bu entegrasyon tekniği birkaç kez uygulanmaktadır. Sonuç şudur:

D [X³] = 6A³

Daha sonra bunu çarpıklık için önceki denklemimizle birleştiriyoruz. Çarpıklığın 6 - 4 = 2 olduğunu görüyoruz.

Sonucun, başladığımız spesifik üstel dağılımdan bağımsız olduğunu belirtmek önemlidir. Üstel dağılımın eğriliği A parametresinin değerine bağlı değildir.

Dahası, sonucun olumlu bir çarpıklık olduğunu görüyoruz. Bu, dağıtımın sağa eğik olduğu anlamına gelir. Olasılık yoğunluğu fonksiyonunun grafiğinin şekli hakkında düşündüğümüz gibi bu sürpriz olmamalıdır. Tüm bu dağılımlar 1 // teta olarak y kesişim noktasına ve grafiğin en sağına giden ve değişkenin yüksek değerlerine karşılık gelen bir kuyruğa sahiptir. x.

Elbette, çarpıklığı hesaplamanın başka bir yolu olduğunu da belirtmeliyiz. Üstel dağılım için moment üreten fonksiyonu kullanabiliriz. İlk türev moment üreten fonksiyon 0 olarak değerlendirildiğinde bize E [X] verir. Benzer şekilde, 0'da değerlendirildiğinde moment üreten fonksiyonun üçüncü türevi bize E (X³].