İki Numune T Testi ve Güven Aralığı Örneği

click fraud protection

Bazen istatistiklerde, sorunların örneklerini görmek faydalı olabilir. Bu örnekler, benzer sorunları bulmamıza yardımcı olabilir. Bu makalede, iki popülasyon aracıyla ilgili bir sonuç için çıkarımsal istatistikler yürütme sürecini ele alacağız. Sadece nasıl yapılacağını görmeyiz hipotez testi iki nüfus aracının farkı hakkında, aynı zamanda güven aralığı bu fark için. Kullandığımız yöntemlere bazen iki örnek t testi ve iki örnek t güven aralığı denir.

Problemin İfadesi

İlkokul çocuklarının matematiksel yeteneklerini test etmek istediğimizi varsayalım. Sahip olabileceğimiz bir soru, daha yüksek not seviyelerinin daha yüksek ortalama test puanlarına sahip olup olmadığıdır.

27 üçüncü sınıftan oluşan basit bir rastgele örnek matematik testi verilir, cevapları puanlanır ve sonuçların ortalama puan 75 puan olduğu görülür. Numune standart sapması 3 puan.

20 beşinci sınıftan oluşan basit bir rastgele örnek aynı matematik testinden geçirilir ve cevapları puanlanır. Beşinci sınıf öğrencileri için ortalama puan 84 puan olup, standart sapma 5 puandır.

instagram viewer

Bu senaryo göz önüne alındığında şu soruları soruyoruz:

  • Örnek veriler bize tüm beşinci sınıf öğrencilerinin nüfusunun ortalama test puanının, tüm üçüncü sınıf öğrencilerinin nüfusunun ortalama test puanını aştığına dair kanıt sağlıyor mu?
  • Üçüncü sınıf öğrencileri ile beşinci sınıf öğrencileri arasındaki ortalama test puanlarındaki fark için% 95 güven aralığı nedir?

Koşullar ve Prosedür

Hangi prosedürün kullanılacağını seçmeliyiz. Bunu yaparken, bu prosedür için koşulların karşılandığından emin olmalı ve kontrol etmeliyiz. İki nüfus aracını karşılaştırmamız isteniyor. Bunu yapmak için kullanılabilecek bir yöntem koleksiyonu, iki örnekli t-prosedürleri için olanlardır.

Bu t-prosedürlerini iki örnek için kullanmak için, aşağıdaki koşulların geçerli olduğundan emin olmamız gerekir:

  • İlgilenilen iki popülasyondan iki basit rastgele örneğimiz var.
  • Basit rastgele örneklerimiz nüfusun% 5'inden fazlasını oluşturmaz.
  • İki örnek birbirinden bağımsızdır ve denekler arasında eşleşme yoktur.
  • Değişken normal olarak dağıtılır.
  • Her iki popülasyon için hem popülasyon ortalaması hem de standart sapma bilinmemektedir.

Bu koşulların çoğunun karşılandığını görüyoruz. Bize basit rastgele örneklere sahip olduğumuz söylendi. Okuduğumuz nüfus büyüktür, çünkü bu sınıf seviyelerinde milyonlarca öğrenci vardır.

Otomatik olarak kabul edemediğimiz koşul, test puanlarının normal olarak dağıtılıp dağıtılmadığıdır. Yeterince büyük bir numune boyutuna sahip olduğumuzdan, t-prosedürlerimizin sağlamlığı nedeniyle değişkenin normal olarak dağıtılması gerekmez.

Koşullar karşılandığından, birkaç ön hesaplama yapıyoruz.

Standart hata

Standart hata, standart sapmanın bir tahminidir. Bu istatistik için, örneklerin örnek varyansını ekliyoruz ve sonra kare kökü alıyoruz. Bu formülü verir:

(s1 2 / n1 + s22 / n2)1/2

Yukarıdaki değerleri kullanarak standart hatanın değerinin

(32 / 27+ 52 / 20)1/2 =(1 / 3 + 5 / 4 )1/2 = 1.2583

Özgürlük derecesi

Bizim için muhafazakar yaklaşımı kullanabiliriz. özgürlük derecesi. Bu, serbestlik derecelerinin sayısını hafife alabilir, ancak hesaplamak Welch'in formülünü kullanmaktan çok daha kolaydır. İki örnek boyutundan daha küçük olanını kullanırız ve sonra bu sayıdan birini çıkarırız.

Örneğimiz için, iki örnekten daha küçük olanı 20'dir. Bu, serbestlik derecesi sayısının 20-1 = 19 olduğu anlamına gelir.

Hipotez Testi

Beşinci sınıf öğrencilerinin, üçüncü sınıf öğrencilerinin ortalama puanlarından daha yüksek ortalama sınav puanına sahip olduğu hipotezini test etmek istiyoruz. Izin vermek μ1 tüm beşinci sınıf öğrencilerinin ortalama puanı olmalıdır. Benzer şekilde, μ2 tüm üçüncü sınıf öğrencilerinin ortalama puanı olmalıdır.

Hipotezler aşağıdaki gibidir:

  • 'H0: μ1 - μ2 = 0
  • 'Hbir: μ1 - μ2 > 0

Test istatistiği, daha sonra standart hataya bölünen örnek araçlar arasındaki farktır. Popülasyon standart sapmasını tahmin etmek için örnek standart sapmalar kullandığımızdan, t dağılımından test istatistiği.

Test istatistiği değeri (84-75) /1.2583'tür. Bu yaklaşık 7.15.

Şimdi bu hipotez testi için p-değerinin ne olduğunu belirledik. Test istatistiğinin değerine ve bunun 19 serbestlik derecesine sahip bir t-dağılımında bulunduğu yere bakıyoruz. Bu dağıtım için 4.2 x 10-7 bizim p-değeri olarak. (Bunu belirlemenin bir yolu Excel'de T.DIST.RT işlevini kullanmaktır.)

Bu kadar küçük bir p değerine sahip olduğumuzdan, sıfır hipotezini reddediyoruz. Sonuç, beşinci sınıf öğrencileri için ortalama test puanının, üçüncü sınıf öğrencileri için ortalama test puanından yüksek olduğudur.

Güven aralığı

Ortalama puanlar arasında bir fark olduğunu saptadığımızdan, şimdi bu iki yol arasındaki fark için bir güven aralığı belirledik. Zaten ihtiyacımız olan şeylerin çoğuna sahibiz. Fark için güven aralığının hem tahmini hem de hata payına sahip olması gerekir.

İki yol arasındaki farkın hesaplanması kolaydır. Sadece örnek araçların farkını buluruz. Numune araçlarının bu farkı nüfus araçlarının farkını tahmin eder.

Verilerimiz için örnek araçlardaki fark 84-75 = 9'dur.

Hata payını hesaplamak biraz daha zordur. Bunun için uygun istatistiği standart hatayla çarpmamız gerekir. İhtiyacımız olan istatistik bir tabloya veya istatistiksel yazılıma danışarak bulunur.

Yine muhafazakar yaklaşımı kullanarak 19 derecelik özgürlüğe sahibiz. % 95 güven aralığı için t* = 2.09. Biz kullanabilirsiniz Exce'de T.INV işleviBu değeri hesaplamak için l.

Şimdi her şeyi bir araya getiriyoruz ve hata payımızın yaklaşık 2.63 olan 2.09 x 1.2583 olduğunu görüyoruz. Güven aralığı 9 ± 2.63'tür. Beşinci ve üçüncü sınıf öğrencilerinin seçtiği testte aralık 6.37 ila 11.63 puan arasındadır.

instagram story viewer