Matematiksel istatistikler istatistiğin ifadelerinin doğru olduğunu kesin olarak kanıtlamak için matematiğin çeşitli dallarından teknikleri kullanır. Yukarıda belirtilen değerleri hem maksimum değerin hem de Moduna karşılık gelen ki-kare dağılımı ve bunun yanı sıra dağılımı.
Bunu yapmadan önce, genel olarak maxima ve bükülme noktalarının özelliklerini tartışacağız. Ayrıca, maksimum bükülme noktalarını hesaplamak için bir yöntem inceleyeceğiz.
Matematik ile Bir Mod Nasıl Hesaplanır
Ayrık bir veri kümesi için, mod en sık görülen değerdir. Verilerin bir histogramında, bu en yüksek çubukla gösterilir. En yüksek çubuğu öğrendikten sonra, bu çubuğun tabanına karşılık gelen veri değerine bakarız. Bu, veri setimiz için moddur.
Aynı fikir sürekli bir dağıtım ile çalışırken de kullanılır. Bu kez modu bulmak için, dağıtımdaki en yüksek zirveyi ararız. Bu dağılımın bir grafiği için, tepe noktasının yüksekliği bir y değeridir. Bu y değerine grafiğimiz için maksimum denir, çünkü değer diğer y değerlerinden daha büyüktür. Mod, yatay eksen boyunca bu maksimum y değerine karşılık gelen değerdir.
Modu bulmak için bir dağıtım grafiğine bakabilsek de, bu yöntemle ilgili bazı sorunlar var. Doğruluğumuz yalnızca grafiğimiz kadar iyidir ve muhtemelen tahmin etmemiz gerekir. Ayrıca, fonksiyonumuzu çizmede zorluklar olabilir.
Grafik gerektirmeyen alternatif bir yöntem kalkülüs kullanmaktır. Kullanacağımız yöntem aşağıdaki gibidir:
- Olasılık yoğunluğu fonksiyonu ile başlayın f (x) dağıtımımız için.
- Birinci ve ikinci hesapla türevler Bu fonksiyonun: f '(x) ve f ''(x)
- Bu ilk türevi sıfıra eşitle f '(x) = 0.
- Şunun için çöz: x.
- Önceki adımdaki değerleri ikinci türe takın ve değerlendirin. Sonuç negatifse, x değerinde yerel bir maksimum değere sahibiz.
- Fonksiyonumuzu değerlendirin f (x) tüm noktalarda x önceki adımdan.
- Olasılık yoğunluğu fonksiyonunu, desteğinin uç noktalarında değerlendirin. Dolayısıyla, işlevin kapalı aralık [a, b] tarafından verilen bir etki alanı varsa, işlevi bitiş noktalarında değerlendirin bir ve b.
- Adım 6 ve 7'deki en büyük değer, fonksiyonun mutlak maksimum değeri olacaktır. Bu maksimum değerin oluştuğu x değeri, dağıtım modudur.
Ki-Kare Dağılım Modu
Şimdi, ki-kare dağılımının modunu hesaplamak için yukarıdaki adımları izliyoruz. r özgürlük derecesi. Olasılık yoğunluğu fonksiyonu ile başlıyoruz f(x) bu makaledeki resimde görüntülenir.
f (x) = K xr / 2-1e-x / 2
Buraya K aşağıdakileri içeren bir sabittir: gama işlevi ve 2 gücü. Özellikleri bilmemize gerek yoktur (ancak bunlar için görüntüdeki formüle başvurabiliriz).
Bu işlevin ilk türevi, Ürün kuralı yanı sıra zincir kuralı:
f '( x ) = K (r / 2 - 1)xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) xr / 2-1e-x / 2
Bu türevi sıfıra eşit olarak ayarladık ve sağ taraftaki ifadeyi faktör olarak belirledik:
0 = K xr / 2-1e-x / 2 [(r / 2 - 1)x-1- 1/2]
Sabitten beri K, üstel işlev ve xr / 2-1 hepsi sıfırdan farklıysa, denklemin her iki tarafını da bu ifadelerle bölebiliriz. Sonra:
0 = (r / 2 - 1)x-1- 1/2
Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpın:
0 = (r - 2)x-1- 1
Böylece 1 = (r - 2)x-1ve biz sonuçlandırarak x = r - 2. Bu, modun oluştuğu yatay eksen boyunca olan noktadır. Gösterir x ki-kare dağılımımızın zirvesinin değeri.
Analiz ile bir bükülme noktası nasıl bulunur
Bir eğrinin diğer bir özelliği, eğriliği ile ilgilidir. Bir eğrinin bölümleri, büyük harf U gibi içbükey olabilir. Eğriler ayrıca içbükey olabilir ve kesişim sembol ∩. Eğrinin içbükeyden aşağıya içbükey olarak değiştiği veya tam tersi bir bükülme noktası vardır.
Bir fonksiyonun ikinci türevi, fonksiyon grafiğinin içbükeyliğini tespit eder. İkinci türev pozitifse, eğri içbükeydir. İkinci türev negatifse, eğri içbükeydir. İkinci türev sıfıra eşit olduğunda ve fonksiyonun grafiği konkavlığı değiştirdiğinde, bir bükülme noktasına sahibiz.
Bir grafiğin bükülme noktalarını bulmak için:
- Fonksiyonumuzun ikinci türevini hesaplayın f ''(x).
- Bu ikinci türevi sıfıra eşit olarak ayarlayın.
- İçin önceki adımdaki denklemi çözün x.
Ki-Kare Dağılımı İçin Bükülme Noktaları
Şimdi ki-kare dağılımı için yukarıdaki adımların nasıl yapılacağını görüyoruz. Farklılaşarak başlarız. Yukarıdaki çalışmadan, fonksiyonumuz için ilk türevin:
f '(x) = K (r / 2 - 1) xr / 2-2e-x / 2 - (K / 2) xr / 2-1e-x / 2
Ürün kuralını iki kez kullanarak tekrar farklılaşıyoruz. Sahibiz:
f ''( x ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1)xr / 2-2e-x / 2 + (K / 4) xr / 2-1e-x / 2 - (K / 2) (r / 2 - 1) xr / 2-2e-x / 2
Bunu sıfıra eşitliyoruz ve her iki tarafı da Ke-x / 2
0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3- (1/2) (r / 2 - 1)xr / 2-2+ (1/ 4) xr / 2-1- (1/ 2)(r/2 - 1) xr / 2-2
Benzer terimleri bir araya getirerek:
(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)xr / 2-3- (r / 2 - 1)xr / 2-2+ (1/ 4) xr / 2-1
Her iki tarafı 4 ile çarpınx3 - r / 2, bu bize şunları verir:
0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)x+ x2.
İkinci dereceden formül artık çözmek için kullanılabilir x.
x = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)2 - 4 (r - 2) (r - 4)]1/2]/2
1/2 güce alınan terimleri genişletip aşağıdakileri görüyoruz:
(4r2 -16r + 16) - 4 (r2 -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)
Bunun anlamı şudur ki:
x = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]1/2
Buradan iki bükülme noktası olduğunu görüyoruz. Ayrıca, bu noktalar dağılım modu hakkında simetriktir, çünkü (r - 2) iki bükülme noktasının ortasındadır.
Sonuç
Bu özelliklerin her ikisinin de serbestlik derecesi sayısıyla nasıl ilişkili olduğunu görüyoruz. Bu bilgileri bir ki-kare dağılımının çizilmesinde yardımcı olmak için kullanabiliriz. Bu dağılımı normal dağılım gibi başkalarıyla da karşılaştırabiliriz. Ki-kare dağılımının bükülme noktalarının, normal dağılım için bükülme noktaları.