Sayma Problemlerine Karşı Çözümler

Saymak kolay bir iş gibi görünebilir. Alanın derinliklerine inerken matematik olarak bilinen kombinatorik, bazı büyük rakamlarla karşılaştığımızın farkındayız. Beri faktöryel çok sık ortaya çıkıyor ve 10 gibi bir sayı! üçten büyük milyon, tüm olasılıkları listelemeye çalışırsak, sorunları saymak çok çabuk karmaşıklaşabilir.

Bazen sayım sorunlarımızın üstesinden gelebileceği tüm olasılıkları düşündüğümüzde, sorunun temel ilkelerini düşünmek daha kolaydır. Bu strateji, bir dizi listeyi listelemek için kaba kuvvet denemekten çok daha az zaman alabilir kombinasyonlar veya permütasyonlar.

"Bir şey kaç yolla yapılabilir?" "Yollar nelerdir?" bir şey yapılabilir mi? "Bu fikri aşağıdaki zorlu sayım setinde işte göreceğiz sorunları.

Aşağıdaki soru kümesi TRIANGLE kelimesini içerir. Toplam sekiz harf olduğunu unutmayın. Anlaşılsın ki sesli harfler TRIANGLE kelimesinin AEI ve TRIANGLE kelimesinin ünsüzleri LGNRT'dir. Gerçek bir meydan okuma için, daha fazla okumadan önce, bu sorunların çözüm olmayan bir versiyonuna bakın.

1. TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Burada ilk harf için toplam sekiz seçenek, ikinci harf için yedi, üçüncü harf için altı, vb. Vardır. Çarpma prensibi ile toplam 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8 çarpıyoruz! = 40.320 farklı yol.
2. İlk üç harfin RAN olması gerekiyorsa (tam olarak) TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: İlk üç harf bizim için seçildi, bize beş harf bıraktı. RAN'dan sonra bir sonraki harf için beş seçeneğimiz, ardından dört, sonra üç, sonra iki, bir tane var. Çarpma prensibi ile 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5 vardır! = Harfleri belirtilen şekilde düzenlemenin 120 yolu.
3. İlk üç harf RAN (herhangi bir sırada) olması gerekiyorsa, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Buna iki bağımsız görev olarak bakın: birincisi RAN harflerini, ikincisi diğer beş harfi düzenler. 3 tane var! = RAN ve 5'i düzenlemenin 6 yolu! Diğer beş harfi düzenleme yolları. Yani toplamda 3 var! x 5! = ÜÇGEN harflerini belirtildiği gibi düzenlemenin 720 yolu.
4. İlk üç harf RAN (herhangi bir sırayla) ve son harf bir sesli harf olmalıysa, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Buna üç görev olarak bakın: birincisi RAN harflerini, ikincisi I ve E'den bir sesli harf seçerken, üçüncüsü diğer dört harfi düzenler. 3 tane var! = RAN düzenlemenin 6 yolu, kalan harflerden bir sesli harf seçmenin 2 yolu ve 4! Diğer dört harfi düzenleme yolları. Yani toplamda 3 var! X 2 x 4! = ÜÇGEN harflerini belirtildiği gibi düzenlemenin 288 yolu.
5. İlk üç harf RAN (herhangi bir sırada) ve sonraki üç harf TRI (herhangi bir sırada) olmalıdır, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Yine üç görevimiz var: birincisi RAN harflerini, ikincisi TRI harflerini ve üçüncüsü diğer iki harfi düzenliyor. 3 tane var! = RAN düzenlemenin 6 yolu, 3! TRI düzenlemenin yolları ve diğer harfleri düzenlemenin iki yolu. Yani toplamda 3 var! x 3! X 2 = ÜÇGEN harflerini gösterildiği gibi düzenlemenin 72 yolu.
6. IAE ünlülerinin sıralaması ve yerleşimi değiştirilemezse, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç farklı yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Üç sesli harf aynı sırada tutulmalıdır. Şimdi ayarlanacak toplam beş ünsüz var. Bu 5'te yapılabilir! = 120 yol.
7. IAE ünlüleri sıralaması yapamazsa, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç farklı yolla düzenlenebilir? yerleşimleri değişse de (IAETRNGL ve TRIANGEL kabul edilebilir ancak EIATRNGL ve TRIENGLA kabul edilebilir değil)?
   Çözüm: Bu en iyi iki adımda düşünülür. Birinci adım ünlülerin gittiği yerleri seçmektir. Burada sekizden üç yer seçiyoruz ve bunu yapma sırası önemli değil. Bu bir kombinasyon ve toplam C(8,3) = Bu adımı gerçekleştirmenin 56 yolu. Kalan beş harf 5'te düzenlenebilir! = 120 yol. Bu toplam 56 x 120 = 6720 düzenleme sağlar.
8. IAE sesli harflerinin sırası değiştirilebiliyorsa, yerleşimleri değişmeyebilirse, TRIANGLE kelimesinin harfleri kaç farklı yolla düzenlenebilir?
   Çözüm: Bu gerçekten yukarıdaki # 4 ile aynı şey, ancak farklı harflerle. 3'te üç harf düzenliyoruz! = 6 yol ve 5 içindeki diğer beş harf! = 120 yol. Bu düzenleme için toplam yol sayısı 6 x 120 = 720'dir.
9. ÜÇGEN kelimesinin altı harfi kaç farklı şekilde düzenlenebilir?
   Çözüm: Bir düzenleme hakkında konuştuğumuz için, bu bir permütasyon ve toplam P( 8, 6) = 8!/2! = 20.160 yol.
10. Eşit sayıda ünlü ve ünsüz olması gerekiyorsa, TRIANGLE kelimesinin altı harfi kaç farklı şekilde düzenlenebilir?
    Çözüm: Yerleştireceğimiz sesli harfleri seçmenin tek bir yolu var. Ünsüzlerin seçilmesi C(5, 3) = 10 yol. O zaman 6 tane var! altı harfi düzenlemenin yolları. 7200 sonucu için bu sayıları çarpın.
11. En az bir ünsüz olması gerekiyorsa, TRIANGLE kelimesinin altı harfi kaç farklı şekilde düzenlenebilir?
    Çözüm: Altı harfli her düzenleme koşulları karşılar, bu yüzden P(8, 6) = 20.160 yol.
12. Sesli harflerin ünsüzlerle değişmesi gerekiyorsa, TRIANGLE kelimesinin altı harfi kaç farklı şekilde düzenlenebilir?
    Çözüm: İki olasılık vardır, ilk harf sesli harftir veya ilk harf ünsüzdür. İlk harf sesli harfse, üç seçeneğimiz var, ardından ünsüz için beş, ikinci bir sesli harf için iki, ikinci bir ünsüz için dört, son sesli harf için bir ve son ünsüz için üç. 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360 elde etmek için bunu çarparız. Simetri argümanları ile, bir ünsüz ile başlayan aynı sayıda düzenleme vardır. Bu, toplam 720 düzenleme sağlar.
13. TRIANGLE kelimesinden kaç farklı dört harf seti oluşturulabilir?
    Çözüm: Hakkında konuştuğumuzdan beri Ayarlamak toplam sekizden dört harf, sıra önemli değildir. Kombinasyonu hesaplamamız gerekiyor C(8, 4) = 70.
14. İki sesli ve iki ünsüz olan TRIANGLE kelimesinden kaç farklı dört harflik set oluşturulabilir?
    Çözüm: Burada setimizi iki adımda oluşturuyoruz. Var C(3, 2) = Toplam 3'ten iki sesli harf seçmenin 3 yolu. Var C(5, 2) = Mevcut beşten ünsüzleri seçmenin 10 yolu. Bu, toplam 3x10 = 30 set sağlar.
15. En az bir sesli harf istiyorsak TRIANGLE kelimesinden kaç farklı dört harflik set oluşturulabilir?
    Çözüm: Bu aşağıdaki gibi hesaplanabilir:

• Bir sesli harf ile dörtlü setlerin sayısı C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• İki sesli harf ile dörtlü setlerin sayısı C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Üç sesli harf ile dörtlü setlerin sayısı C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Bu toplam 65 farklı set verir. Alternatif olarak, herhangi bir dört harften oluşan bir grup oluşturmak için 70 yol olduğunu hesaplayabilir ve C(5, 4) = Sesli harfleri olmayan bir set elde etmenin 5 yolu.