medyan bir veri kümesinin yarısı, veri değerlerinin tam yarısının ortancadan küçük veya ona eşit olduğu orta noktadır. Benzer şekilde, bir kişinin medyanı hakkında düşünebiliriz. sürekliolasılık dağılımı, ancak bir veri kümesinde orta değeri bulmak yerine, dağıtımın ortasını farklı bir şekilde buluruz.
Bir olasılık yoğunluk fonksiyonu altındaki toplam alan 1'dir ve% 100'ü temsil eder ve bunun bir sonucu olarak bunun yarısı yüzde bir veya yüzde 50 ile temsil edilebilir. Matematiksel istatistiklerin büyük fikirlerinden biri, olasılığın, eğrinin eğrisinin altındaki alanla temsil edilmesidir. bir integral tarafından hesaplanan yoğunluk fonksiyonu ve dolayısıyla sürekli bir dağılımın medyanı, gerçek Numara alanın tam yarısı sola doğrudur.
Bu, aşağıdaki uygunsuz integralle daha özlü bir şekilde ifade edilebilir. Sürekli rasgele değişkenin medyanı X yoğunluk fonksiyonu ile f( x) M değeridir, öyle ki:
0.5=∫m−∞f(x)dx
Üstel Dağılım İçin Medyan
Şimdi Exp (A) üstel dağılımı için medyanı hesaplıyoruz. Bu dağılımla rastgele bir değişken yoğunluk fonksiyonuna sahiptir f(x) = e-x/ A/ A için x negatif olmayan herhangi bir gerçek sayı. İşlev ayrıca matematiksel sabit eyaklaşık 2.71828'e eşittir.
Herhangi bir negatif değer için olasılık yoğunluk fonksiyonu sıfır olduğundan x, tek yapmamız gereken aşağıdakileri entegre etmek ve M için çözmek:
0.5 = ∫0M f (x) dx
İntegralden beri ∫ e-x/ A/ A dx = -e-x/ Asonuç şu ki
0.5 = -e-M / A + 1
Bu, 0.5 = e-M / A ve denklemin her iki tarafının doğal logaritmasını aldıktan sonra:
ln (1/2) = -M / A
1/2 = 2'den beri-1, logaritmaların özelliklerine göre şunu yazıyoruz:
- ln2 = -M / A
Her iki tarafın A ile çarpılması bize ortanca M = A ln2 sonucunu verir.
İstatistiklerde Medyan-Ortalama Eşitsizliği
Bu sonucun bir sonucundan bahsetmek gerekir: Exp (A) 'nın üstel dağılımının ortalaması A'dır ve ln2 1'den küçük olduğu için, Aln2 ürününün A'dan daha az olduğu görülür. Bu, üstel dağılımın medyanının ortalamadan daha az olduğu anlamına gelir.
Olasılık yoğunluğu fonksiyonunun grafiğini düşünürsek bu mantıklıdır. Uzun kuyruk nedeniyle, bu dağılım sağa eğilir. Çoğu zaman bir dağılım sağa çarpık olduğunda, ortalama medyanın sağındadır.
İstatistiksel analiz açısından bunun anlamı, çoğu zaman ortalama ve medyanın doğrudan olmadığını tahmin edebiliriz. Medyan-ortalama eşitsizlik kanıtı olarak ifade edilebilecek olan verilerin sağa eğrilme olasılığı göz önüne alındığında, olarak bilinen Chebyshev eşitsizliği.
Örnek olarak, bir kişinin 10 saat içinde toplam 30 ziyaretçi almasını sağlayan ve bir ziyaretçinin ortalama bekleme süresinin 20 dakika olduğu, veri kümesi, bu ziyaretçilerin yarısından fazlası ilk beşte geldiyse medyan bekleme süresinin 20 ila 30 dakika arasında bir yerde olacağını gösterebilir saatler.