Beklenen Değer Formülü

Olasılık dağılımı hakkında sorulması gereken doğal bir soru, "Merkezi nedir?" Beklenen değer, olasılık dağılımının merkezinin böyle bir ölçümüdür. Ortalamayı ölçtüğü için, bu formülün ortalamanın türünden türetilmesi şaşırtıcı olmamalıdır.

Bir başlangıç ​​noktası oluşturmak için, "Beklenen değer nedir?" Bir olasılık deneyi ile ilişkili rastgele bir değişkenimiz olduğunu varsayalım. Diyelim ki bu deneyi tekrar tekrar tekrarlıyoruz. Aynı olasılık deneyinin birkaç tekrarının uzun vadede, eğer rastgele değişken, beklenen değeri elde ederiz.

Aşağıda, formülün beklenen değer için nasıl kullanılacağını göreceğiz. Hem ayrık hem de sürekli ayarlara bakacağız ve formüllerde benzerlikleri ve farklılıkları göreceğiz.

Ayrık vakayı analiz ederek başlıyoruz. Kesikli rasgele değişken verildi X, değerleri olduğunu varsayalım x₁, x₂, x₃,... x_nve ilgili olasılıkları p₁, p₂, p₃,... p_n. Bu rastgele değişken için olasılık kütle fonksiyonunun f(x_ben) = p_ben.

Beklenen değeri X formül ile verilir:

E (X) = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ +... + x_np_n.

Olasılık kütle fonksiyonunu ve toplama gösterimini kullanmak, bu formülü aşağıdaki gibi daha kompakt bir şekilde yazmamızı sağlar; ben:

E (X) = Σ x_benf(x_ben).

Formülün bu versiyonunu görmek faydalıdır, çünkü sonsuz bir örnek alanımız olduğunda da çalışır. Bu formül, sürekli durum için kolayca ayarlanabilir.

Madalyonu üç kez çevirin ve bırakın X kafa sayısı. Rastgele değişken X kesikli ve sonludur. Sahip olabileceğimiz tek değerler 0, 1, 2 ve 3'tür. Bunun için 1/8 olasılık dağılımı vardır X = 0, 3/8 için X = 1, 3/8 için X = 2, 1/8 için X = 3. Aşağıdakileri elde etmek için beklenen değer formülünü kullanın:

(1/8)0 + (3/8)1 + (3/8)2 + (1/8)3 = 12/8 = 1.5

Bu örnekte, uzun vadede, bu deneyden ortalama 1.5 kafa alacağımızı görüyoruz. 3'ün yarısı 1,5 olduğu için sezgilerimizle bu mantıklı.

Şimdi sürekli rastgele bir değişkene dönüyoruz. X. Olasılık yoğunluğu fonksiyonuna izin vereceğiz X fonksiyon tarafından verilecek f(x).

Beklenen değeri X formül ile verilir:

E (X) = ∫ x f(x) dx.

Burada rastgele değişkenimizin beklenen değerinin bir integral olarak ifade edildiğini görüyoruz.

Çok var beklenen değer için başvurular rastgele bir değişken. Bu formül, St.Petersburg Paradoksu.