Gama Fonksiyonu ile Hesaplamalar

gama işlevi aşağıdaki karmaşık görünümlü formülle tanımlanır:

Γ ( z ) = ∫₀^∞e ^{- t}t^Z-1dt

İnsanların bu kafa karıştırıcı denklemle ilk karşılaştıklarında sahip oldukları bir soru şudur: “Bu formülü, gama işlevi? ” Bu önemli bir soru, çünkü bu fonksiyonun ne anlama geldiğini ve tüm sembollerin ne anlama geldiğini bilmek zor için.

Bu soruya cevap vermenin bir yolu, gama fonksiyonu ile çeşitli örnek hesaplamalara bakmaktır. Bunu yapmadan önce, matematikten bilmemiz gereken birkaç tür vardır, örneğin bir tip I uygunsuz integralin nasıl entegre edileceği ve e matematiksel bir sabittir.

Herhangi bir hesaplama yapmadan önce, bu hesaplamaların arkasındaki motivasyonu inceliyoruz. Birçok kez gama fonksiyonları perde arkasında görünür. Gama fonksiyonu olarak birkaç olasılık yoğunluk fonksiyonu belirtilmiştir. Bunlara örnek olarak gama dağılımı ve öğrenci t-dağılımı verilebilir. Gama işlevinin önemi abartılamaz.

İnceleyeceğimiz ilk örnek hesaplama Γ (1) için gama fonksiyonunun değerini bulmaktır. Bu ayar ile bulunur z Yukarıdaki formülde = 1:

∫₀^∞e ^{- t}dt

Yukarıdaki integrali iki adımda hesaplıyoruz:

• Belirsiz integral ∫e ^{- t}dt= -e ^{- t} + C
• Bu uygun olmayan bir integraldir, bu yüzden ∫₀^∞e ^{- t}dt = lim_{b → ∞} -e ^{- b} + e ⁰ = 1

Dikkate alacağımız bir sonraki örnek hesaplama son örneğe benzer, ancak z 1 ile. Şimdi Γ (2) için gama fonksiyonunun değerini ayarlayarak hesaplıyoruz. z = Yukarıdaki formülde 2. Adımlar yukarıdakiyle aynıdır:

Γ ( 2 ) = ∫₀^∞e ^{- t}t dt

Belirsiz integral ∫te ^{- t}dt=- te ^{- t} -e ^{- t} + C. Her ne kadar sadece z 1 ile, bu integrali hesaplamak daha fazla iş gerektirir. Bu integrali bulmak için, kalkülüs denen bir teknik kullanmalıyız. Parçalara göre entegrasyon. Şimdi entegrasyon sınırlarını yukarıdaki gibi kullanıyoruz ve şunları hesaplamamız gerekiyor:

lim_{b → ∞}- olmak ^{- b} -e ^{- b} -0e ⁰ + e ⁰.

L’Hospital’in kuralı olarak bilinen matematikten elde edilen sonuç, limit limiti hesaplamamıza olanak tanır_{b → ∞}- olmak ^{- b} = 0. Bu, yukarıdaki integralimizin değerinin 1 olduğu anlamına gelir.

Gama fonksiyonunun başka bir özelliği ve onu faktöryel formül Γ (z +1 ) =zΓ (z ) için z pozitif olan herhangi bir karmaşık sayı gerçek Bölüm. Bunun doğru olmasının nedeni, gama fonksiyonu için formülün doğrudan bir sonucudur. Parçalara entegrasyonu kullanarak gama fonksiyonunun bu özelliğini oluşturabiliriz.