Dirac Delta İşlevine Giriş

Dirac delta işlevi, bir nokta kütlesi veya nokta yükü gibi ideal bir nokta nesnesini temsil etmesi amaçlanan matematiksel bir yapıya verilen addır. Kuantum mekaniği ve geri kalanı içinde geniş uygulama alanları vardır. kuantum fiziği, genellikle kuantumda kullanıldığı için dalga fonksiyonu. Delta işlevi, işlev olarak yazılan Yunanca küçük harf sembol deltasıyla temsil edilir: δ (x).

Bu gösterim, Dirac delta işlevi, 0 giriş değeri dışında her yerde 0 değerine sahip olacak şekilde tanımlanarak elde edilir. Bu noktada, sonsuz yükseklikte bir yükselişi temsil eder. Tüm çizgi boyunca alınan integral 1'e eşittir. Eğer analiz okuduysanız, muhtemelen bu fenomenle daha önce karşılaşmışsınızdır. Bunun, teorik fizikte yıllarca kolej düzeyinde çalışmadan sonra öğrencilere tanıtılan bir kavram olduğunu unutmayın.

Başka bir deyişle, sonuçlar en temel delta işlevi δ (x), tek boyutlu bir değişkenle x, bazı rastgele giriş değerleri için:

• δ(5) = 0
• δ(-20) = 0
• δ(38.4) = 0
• δ(-12.2) = 0
• δ(0.11) = 0
• δ(0) = ∞

İşlevi bir sabitle çarparak ölçeklendirebilirsiniz. Analiz kuralları uyarınca, sabit bir değerle çarpmak da integralin değerini bu sabit faktörle artıracaktır. Δ (x) tüm gerçek sayılar arasında 1, daha sonra bunu bir sabit ile çarpmak, o sabite eşit yeni bir integrale sahip olacaktır. Yani, örneğin, 27δ (x) 27'nin tüm gerçek sayıları arasında bir integral vardır.

Dikkate alınması gereken bir başka yararlı şey, fonksiyonun sadece 0 girişi için sıfırdan farklı bir değere sahip olması, noktanızın tam 0'da sıralanmadığı bir koordinat ızgarası, bu işlev girdisinin içinde bir ifade ile temsil edilebilir. Parçacığın bir konumda olduğu fikrini temsil etmek istiyorsanız x = 5, Dirac delta işlevini δ (x - 5) = ∞ [δ (5 - 5) = ∞] şeklinde yazacaksınız.

Daha sonra bu işlevi bir kuantum sistemindeki bir dizi nokta parçacığını temsil etmek için kullanmak isterseniz, çeşitli dirac delta işlevlerini birlikte ekleyerek yapabilirsiniz. Somut bir örnek için, x = 5 ve x = 8 noktaları olan bir işlev δ (x - 5) + δ (x - 8) olarak temsil edilebilir. Daha sonra bu fonksiyonun bir integralini tüm sayılar üzerine alırsanız, fonksiyonlar, orada bulunan ikisi dışındaki tüm konumlarda 0 olmasına rağmen gerçek sayıları temsil eder puanlardır. Bu kavram daha sonra iki veya üç boyutlu bir alanı temsil etmek için genişletilebilir (örneklerimde kullandığım tek boyutlu durum yerine).

Bu çok karmaşık bir konuya kuşkusuz kısa bir giriş niteliğindedir. Bunun farkına varılması gereken en önemli şey, Dirac delta fonksiyonunun temelde sadece fonksiyonun entegrasyonunu anlamlı kılmak amacıyla mevcut olmasıdır. Yerleşik bir integral olmadığında, Dirac delta fonksiyonunun varlığı özellikle yardımcı olmaz. Ancak fizikte, aniden tek bir noktada var olmayan parçacıkların olmadığı bir bölgeden gitmekle uğraşırken, oldukça yararlıdır.

1930 kitabında, Kuantum Mekaniğinin Prensipleri, İngilizce teorik fizikçi Paul Dirac bra-ket gösterimi ve Dirac delta işlevi de dahil olmak üzere kuantum mekaniğinin temel unsurlarını ortaya koydu. Bunlar, kuantum mekaniği alanında, Schrodinger denklemi.