Matematik konusunda harika olan bir şey, konunun görünüşte ilgisiz alanlarının şaşırtıcı yollarla bir araya gelme biçimidir. Bunun bir örneği, bir düşüncenin matematikten Çan eğrisi. Aşağıdaki soruyu cevaplamak için matematikte türev olarak bilinen bir araç kullanılır. Normalin olasılık yoğunluğu fonksiyonunun grafiğindeki bükülme noktaları nerede dağıtım?
Eğriler, sınıflandırılabilen ve kategorilere ayrılabilen çeşitli özelliklere sahiptir. Dikkate alabileceğimiz eğrilere ilişkin bir öğe, bir fonksiyonun grafiğinin artmakta mı yoksa azalmakta mı olduğudur. Başka bir özellik, içbükeylik olarak bilinen bir şeyle ilgilidir. Bu, kabaca eğrinin bir kısmının baktığı yön olarak düşünülebilir. Daha resmi olarak içbükeylik eğriliğin yönüdür.
Bir eğrinin bir kısmının, U harfi gibi biçimlendirilmesi durumunda içbükey olduğu söylenir. Bir eğrinin bir kısmı aşağıdaki gibi şekillenirse içbükeydir ∩. İçbükey için yukarı veya içbükey için aşağı doğru açılan bir mağarayı düşünürsek, bunun nasıl göründüğünü hatırlamak kolaydır. Bir bükülme noktası, bir eğrinin konkavlığı değiştirdiği yerdir. Başka bir deyişle, bir eğrinin içbükeyden içbükey aşağıya veya tam tersi olduğu bir noktadır.
Analizde türev, çeşitli şekillerde kullanılan bir araçtır. Türevin en iyi bilinen kullanımı, belirli bir noktada bir eğriye teğet olan bir çizginin eğimini belirlemek olsa da, başka uygulamalar da vardır. Bu uygulamalardan biri, bir fonksiyonun grafiğinin bükülme noktalarını bulmakla ilgilidir.
Eğer grafik y = f (x) bükülme noktası var x = a, sonra ikinci türevi f değerlendirildi bir sıfırdır. Bunu matematiksel gösterimle şöyle yazıyoruz: f ’’ (a) = 0. Bir fonksiyonun ikinci türevi bir noktada sıfır ise, bu otomatik olarak bir bükülme noktası bulduğumuz anlamına gelmez. Bununla birlikte, ikinci türevin nerede sıfır olduğunu görerek potansiyel bükülme noktalarını arayabiliriz. Bu yöntemi normal dağılımın bükülme noktalarının yerini belirlemek için kullanacağız.
Buradan bükülme noktalarının nerede oluştuğunu görmek kolaydır. x = μ ± σ. Başka bir deyişle, bükülme noktaları ortalamanın bir standart sapması ve ortalamanın bir standart sapması bulunur.