De Morgan Yasaları Nelerdir?

Matematiksel istatistikler bazen küme teorisinin kullanılmasını gerektirir. De Morgan’ın yasaları, çeşitli küme teorisi işlemleri arasındaki etkileşimleri tanımlayan iki ifadedir. Kanunlar herhangi iki set için bir ve B:

1. (bir ∩ B)^C = bir^C U B^C.
2. (bir U B)^C = bir^C ∩ B^C.

Bu ifadelerin her birinin ne anlama geldiğini açıkladıktan sonra, kullanılan her bir örneğe bakacağız.

De Morgan’ın Yasalarının ne dediğini anlamak için, küme teorisi operasyonlarının bazı tanımlarını hatırlamalıyız. Özellikle, Birlik ve kesişim iki set ve bir setin tamamlayıcısı.

De Morgan’ın Yasaları sendika, kavşak ve tamamlayıcının etkileşimi ile ilgilidir. Hatırlamak:

• Kümelerin kesişimi bir ve B her ikisi için ortak olan tüm unsurlardan oluşur bir ve B. Kavşak, bir ∩ B.
• Setlerin birliği bir ve B İçindeki tüm öğelerden oluşur. bir veya B, her iki kümedeki öğeler dahil. Kavşak A U B ile gösterilir.
• Setin tamamlayıcısı bir unsurları olmayan tüm unsurlardan oluşur bir. Bu tamamlayıcı A ile gösterilir^C.

Şimdi bu temel işlemleri hatırladığımıza göre, De Morgan Yasalarının açıklamasını göreceğiz. Her set çifti için

1. (bir ∩ B)^C = bir^C U B^C
2. (bir U B)^C = bir^C ∩ B^C

Bu iki ifade Venn diyagramları kullanılarak açıklanabilir. Aşağıda görüldüğü gibi, bir örnek kullanarak gösterebiliriz. Bu ifadelerin doğru olduğunu göstermek için, onları kanıtla küme teorisi işlemlerinin tanımlarını kullanarak.

Örneğin, gerçek sayılar 0 ila 5 arasındadır. Bunu aralık gösterimi ile yazıyoruz [0, 5]. Bu set dahilinde bir = [1, 3] ve B = [2, 4]. Ayrıca, temel operasyonlarımızı uyguladıktan sonra:

• Tamamlayıcı bir^C = [0, 1) U (3, 5]
• Tamamlayıcı B^C = [0, 2) U (4, 5]
• Birlik bir U B = [1, 4]
• Kavşak bir ∩ B = [2, 3]

Sendikayı hesaplayarak başlıyoruz bir^C U B^C. [0, 1) U (3, 5] 'ün [0, 2) U (4, 5] ile birleşmesinin [0, 2) U (3, 5] olduğunu görüyoruz. Kavşak bir ∩ B Rı [2, 3]. Bu setin tamamlayıcısının [2, 3] de [0, 2) U (3, 5] olduğunu görüyoruz. Bu şekilde, bir^C U B^C = (bir ∩ B)^C.

Şimdi [0, 1) U (3, 5] 'ün [0, 2) U (4, 5] ile kesişiminin [0, 1) U (4, 5] olduğunu görüyoruz. Ayrıca [1, 4] 'ün tamamlayıcısının da [0, 1) U (4, 5] olduğunu görüyoruz. Bu şekilde, bir^C ∩ B^C = (bir U B)^C.

Mantık tarihi boyunca, insanlar gibi Aristo ve Ockham'dan William, De Morgan Yasalarına eşdeğer açıklamalar yaptı.

De Morgan'ın yasaları, 1806-1871 yılları arasında yaşayan Augustus De Morgan'ın adını almıştır. Her ne kadar bu yasaları keşfetmemiş olsa da, bu ifadeleri önermeli mantıkta bir matematiksel formülasyon kullanarak resmi olarak ilk tanıtan oydu.