Kümeler Teorisi ve Nasıl Kullanıldığı

Küme teorisi tüm matematikte temel bir kavramdır. Matematiğin bu dalı diğer konular için bir temel oluşturur.

Sezgisel olarak bir küme, elemanlar olarak adlandırılan bir nesne koleksiyonudur. Bu basit bir fikir gibi görünse de, bazı geniş kapsamlı sonuçları var.

Bir kümenin öğeleri gerçekten herhangi bir şey olabilir - sayılar, durumlar, arabalar, insanlar ve hatta diğer kümeler, öğeler için olasılıklardır. Bir araya getirilebilecek hemen hemen her şey bir set oluşturmak için kullanılabilir, ancak dikkat etmemiz gereken bazı şeyler vardır.

Bir kümenin öğeleri kümede ya da kümede değil. Kümeyi tanımlayıcı bir özellik ile tanımlayabiliriz veya kümedeki öğeleri listeleyebiliriz. Listelenme sırası önemli değildir. Böylece {1, 2, 3} ve {1, 3, 2} kümeleri eşit kümelerdir, çünkü her ikisi de aynı öğeleri içerir.

İki set özel bir sözü hak ediyor. Birincisi, genellikle belirtilen evrensel kümedir U. Bu set, seçebileceğimiz tüm öğelerdir. Bu set bir ayardan diğerine farklı olabilir. Örneğin, bir evrensel küme,

Biraz dikkat gerektiren diğer sete boş küme. Boş küme, benzersiz küme, elemansız kümedir. Bunu {} olarak yazabilir ve bu seti ∅ sembolü ile gösterebiliriz.

Bir kümenin bazı öğelerinin koleksiyonu bir denir alt küme nın-nin bir. Diyoruz ki bir bir alt kümesidir B eğer ve sadece bir aynı zamanda B. Sonlu bir sayı varsa n Bir kümedeki elemanların toplamı, o zaman toplam 2ⁿ alt kümeleri bir. Tüm alt kümelerinin bu koleksiyonu bir adı verilen bir kümedir Gücü ayarla nın-nin bir.

Toplama gibi işlemleri gerçekleştirebildiğimiz gibi - yeni bir sayı elde etmek için iki sayı üzerinde, küme teorisi işlemleri diğer iki kümeden bir küme oluşturmak için kullanılır. Birkaç işlem vardır, ancak neredeyse hepsi aşağıdaki üç işlemden oluşur:

• Birlik - Birlik bir araya gelmeyi ifade eder. Setlerin birliği bir ve B ikisinde bulunan elemanlardan oluşur bir veya B.
• kesişim - Bir kavşak iki şeyin buluştuğu noktadır. Kümelerin kesişimi bir ve B her ikisinde de bulunan bir ve B.
• Tamamlayıcı - Setin tamamlayıcısı bir evrensel kümedeki eleman olmayan tüm elemanlardan oluşur bir.

Farklı setler arasındaki ilişkiyi betimlemeye yardımcı olan bir araca Venn diyagramı denir. Bir dikdörtgen, sorunumuz için evrensel seti temsil eder. Her set bir daire ile temsil edilir. Daireler birbiriyle çakışıyorsa, bu iki setimizin kesişimini gösterir.

Küme teorisi tüm matematikte kullanılır. Matematiğin birçok alt alanı için bir temel olarak kullanılır. İstatistikle ilgili alanlarda, özellikle olasılıkta kullanılır. Olasılıktaki kavramların çoğu küme teorisinin sonuçlarından türetilmiştir. Gerçekten de, olasılık aksiyomları küme teorisini içerir.