Bir Yahtzee'yi Döndürme Olasılığı

Yahtzee, şans ve stratejinin bir kombinasyonunu içeren bir zar oyunudur. Bir oyuncu sırayla beş zar atarak başlar. Bu atıştan sonra, oyuncu zarların herhangi bir sayısını tekrar atmaya karar verebilir. En fazla, her tur için toplam üç rulo vardır. Bu üç rulodan sonra, zarın sonucu bir skor kağıdına girilir. Bu skor sayfası, Dolu ev veya büyük düz. Kategorilerin her biri farklı zar kombinasyonlarından memnun.

Doldurulması en zor kategori bir Yahtzee kategorisidir. Bir Yahtzee, bir oyuncu aynı sayıdan beşini yuvarladığında oluşur. Bir Yahtzee ne kadar düşüktür? Bu, olasılıkları bulmaktan çok daha karmaşık bir sorundur iki ya da üç zar. Ana neden, üç rulo sırasında beş eşleşen zar elde etmenin birçok yolu olmasıdır.

Bir Yahtzee'yi kombinasyonlar için kombinatorik formülünü kullanarak ve problemi birkaç parçaya bölerek hesaplayabiliriz. birbirini dışlayan vakalar.

Dikkate alınması gereken en kolay durum, ilk ruloda hemen bir Yahtzee elde etmektir. İlk önce olasılık belirli bir Yahtzee'yi beş ikişer yuvarlamak ve daha sonra bunu kolayca herhangi bir Yahtzee'nin olasılığına kadar genişletmek.

İki tane haddeleme olasılığı 1/6'dır ve her kalıbın sonucu diğerlerinden bağımsızdır. Böylece beş ikişer yuvarlanma olasılığı (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776'dır. Başka herhangi bir türde beşi haddeleme olasılığı da 1/7776'dır. Bir kalıpta toplam altı farklı sayı olduğundan, yukarıdaki olasılığı 6 ile çarpıyoruz.

Bu, bir Yahtzee'nin ilk rulodaki olasılığının 6 x 1/7776 = 1/1296 = yüzde 0,08 olduğu anlamına gelir.

İlk türden beş türden başka bir şey döndürürsek, bir Yahtzee elde etmek için bazı zarlarımızı tekrar yuvarlamamız gerekecek. İlk rulonuzun dört çeşidi olduğunu varsayalım. uymayan tek kalıbı tekrar yuvarlar ve sonra bu ikinci atışta bir Yahtzee elde ederiz.

Bu şekilde toplam beş ikişer yuvarlanma olasılığı aşağıdaki gibidir:

1. İlk atışta dört ikimiz var. İkisini yuvarlama olasılığı 1/6 ve ikisini yuvarlamama olasılığı 5/6 olduğundan, (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Beşten herhangi biri zar attı iki olmayan olabilir. Dört ikiliyi ve iki olmayan bir şeyi kaç yolla yuvarlayabileceğimizi saymak için C (5, 1) = 5 için kombinasyon formülümüzü kullanıyoruz.
3. İlk ruloda tam olarak dört ikişer yuvarlanma olasılığının 25/7776 olduğunu çarparız ve görürüz.
4. İkinci ruloda, iki tane haddeleme olasılığını hesaplamamız gerekir. Bu 1/6. Dolayısıyla, ikişer kişilik bir Yahtzee'yi yukarıdaki şekilde haddeleme olasılığı (25/7776) x (1/6) = 25/46656'dır.

Herhangi bir Yahtzee'nin bu şekilde yuvarlanma olasılığını bulmak için, yukarıdaki olasılık 6 ile çarpılarak bulunur, çünkü bir kalıpta altı farklı sayı vardır. Bu, 6 x 25/46656 = yüzde 0,32 olasılığı verir.

Ama Yahtzee'yi iki rulo ile yuvarlamanın tek yolu bu değil. Aşağıdaki olasılıkların tümü yukarıdaki ile aynı şekilde bulunur:

• Üç tane, sonra da ikinci zarımızda eşleşen iki zar atabiliriz. Bunun olasılığı 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = yüzde 0,54'tür.
• Eşleşen bir çifti yuvarlayabiliriz ve ikinci rulonuzda eşleşen üç zar. Bunun olasılığı 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = yüzde 0,36'dır.
• Beş farklı zar atabilir, ilk rulodan bir kalıp kurtarabiliriz, sonra ikinci ruloda eşleşen dört zar yuvarlayabiliriz. Bunun olasılığı (6! / 7776) x (1/1296) = yüzde 0.01'dir.

Yukarıdaki durumlar birbirini dışlar. Bu, bir Yahtzee'yi iki rulo halinde haddeleme olasılığını hesaplamak için yukarıdaki olasılıkları birlikte eklediğimiz ve yaklaşık yüzde 1.23'ümüz olduğu anlamına gelir.

Şimdiye kadarki en karmaşık durum için şimdi bir Yahtzee elde etmek için üç topumuzun hepsini kullandığımız durumu inceleyeceğiz. Bunu birkaç şekilde yapabiliriz ve hepsini hesaba katmalıyız.

Bu olasılıkların olasılıkları aşağıda hesaplanmıştır:

• Bir türden dördü, sonra hiçbir şey haddeleme olasılığı, daha sonra son rulodaki son kalıbı eşleştirme olasılığı 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0.27 yüzde.
• Üç tür, sonra hiçbir şey haddeleme olasılığı, daha sonra son ruloda doğru çiftle eşleşme olasılığı 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = Yüzde 0.37.
• Eşleşen bir çifti yuvarlama olasılığı, daha sonra hiçbir şey, daha sonra üçüncü ruloda bir tür doğru üç ile eşleşme olasılığı 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216) ) = Yüzde 0.21.
• Tek bir kalıbın haddeleme olasılığı, daha sonra bununla eşleşen hiçbir şey, daha sonra üçüncü ruloda bir tür doğru dört ile eşleşme olasılığı (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = yüzde 0.003'tür.
• Üç çeşit haddeleme olasılığı, bir sonraki ruloda ek bir kalıp eşleştirme ve ardından üçüncü rulodaki beşinci kalıbın eşleşmesi 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0.89 yüzde.
• Bir çift haddeleme olasılığı, bir sonraki ruloda ek bir çiftle eşleşme ve ardından eşleşme üçüncü rulodaki beşinci kalıp 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 yüzde.
• Bir çift haddeleme olasılığı, bir sonraki ruloda ek bir kalıp eşleştirme ve ardından üçüncü rulodaki son iki zar 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = yüzde 0,74'tür.
• Bir türden birini haddeleme olasılığı, ikinci ruloda eşleşmesi için başka bir kalıp ve daha sonra üçüncü ruloda bir tür üçü (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = yüzde 0.01.
• İkinci ruloda eşleşecek türden bir tür üç tür haddeleme olasılığı ve ardından üçüncü silindirde bir eşleşme olasılığı (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = yüzde 0.02.
• Bir tür, bir çiftin ikinci ruloda eşleşmesi ve daha sonra üçüncü ruloda eşleşmesi için başka bir çift haddeleme olasılığı (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = yüzde 0.03.

Bir Yahtzee'nin üç zar zarında yuvarlanma olasılığını belirlemek için yukarıdaki olasılıkların tümünü bir araya getiriyoruz. Bu olasılık yüzde 3,43'tür.

Bir ruloda Yahtzee olasılığı yüzde 0.08, iki ruloda Yahtzee olasılığı yüzde 1.23 ve üç ruloda Yahtzee olasılığı yüzde 3.43'tür. Bunların her biri karşılıklı olarak ayrıcalıklı olduğu için olasılıkları bir araya getiriyoruz. Bu, belirli bir sırada Yahtzee elde etme olasılığının yaklaşık yüzde 4,74 olduğu anlamına gelir. Bunu perspektife sokmak için, 1/21 yaklaşık yüzde 4,74 olduğu için, şans eseri bir oyuncu her 21 turda bir Yahtzee beklemelidir. Uygulamada, ilk bir çift gibi başka bir şey için yuvarlanmak üzere atılabileceği için daha uzun sürebilir. Düz.