Matematiksel istatistikteki momentler temel bir hesaplama içerir. Bu hesaplamalar, olasılık dağılımının ortalamasını, varyansını ve çarpıklığını bulmak için kullanılabilir.
Varsayalım ki toplamda bir veri setimiz var. nayrık puan. Aslında birkaç sayı olan önemli bir hesaplamaya, sinci an. sveri setinin değerleri ile anı x1, x2, x3,..., xn formül ile verilir:
(x1s + x2s + x3s +... + xns)/n
Bu formülü kullanmak, işlem sıralamamıza dikkat etmemizi gerektirir. Önce üsleri yapmalıyız, ekledik, sonra bu toplamı n toplam veri değeri sayısı.
'Moment' Terimiyle İlgili Bir Not
Dönem an fizikten alınmıştır. Fizikte, bir nokta kütleleri sisteminin momenti, yukarıdakine benzer bir formülle hesaplanır ve bu formül, noktaların kütle merkezini bulmak için kullanılır. İstatistiklerde, değerler artık kütle değildir, ancak göreceğimiz gibi, istatistiklerdeki anlar hala değerlerin merkezine göre bir şey ölçer.
İlk an
İlk an için s = 1. İlk an için formül şu şekildedir:
(x1x2 + x3 +... + xn)/n
Bu, numunenin formülüyle aynıdır. anlamına gelmek.
1, 3, 6, 10 değerlerinin ilk momenti (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5'tir.
İkinci An
İkinci an için s = 2. İkinci an için formül:
(x12 + x22 + x32 +... + xn2)/n
1, 3, 6, 10 değerlerinin ikinci momenti (1)2 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100)/4 = 146/4 = 36.5.
Üçüncü An
Üçüncü an için belirledik s = 3. Üçüncü an için formül:
(x13 + x23 + x33 +... + xn3)/n
1, 3, 6, 10 değerlerinin üçüncü momenti (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000)/4 = 1244/4 = 311.
Daha yüksek momentler de benzer şekilde hesaplanabilir. Sadece değiştirin s yukarıdaki formülde istenen anı gösteren sayı ile.
Ortalama ile İlgili Anlar
İlgili bir fikir, sortalama anı. Bu hesaplamada aşağıdaki adımları gerçekleştiriyoruz:
- İlk olarak, değerlerin ortalamasını hesaplayın.
- Ardından, bu ortalaması her değerden çıkarın.
- Sonra bu farklılıkların her birini sth gücü.
- Şimdi 3. adımdaki sayıları toplayın.
- Son olarak, bu toplamı başladığımız değer sayısına bölün.
İçin formül sortalama an m değerlerin x1, x2, x3,..., xn tarafından verilen:
ms = ((x1 - m)s + (x2 - m)s + (x3 - m)s +... + (xn - m)s)/n
Ortalama Hakkında İlk An
Ortalama ile ilgili ilk an, hangi veri kümesiyle çalıştığımız önemli değil, daima sıfıra eşittir. Bu, aşağıda görülebilir:
m1 = ((x1 - m) + (x2 - m) + (x3 - m) +... + (xn - m))/n = ((x1+ x2 + x3 +... + xn) - mil)/n = m - m = 0.
Ortalama Hakkında İkinci An
Ortalama ile ilgili ikinci moment, yukarıdaki formülden,s = 2:
m2 = ((x1 - m)2 + (x2 - m)2 + (x3 - m)2 +... + (xn - m)2)/n
Bu formül, numune varyansının formülüne eşdeğerdir.
Örneğin, 1, 3, 6, 10 setini düşünün. Bu setin ortalamasını 5 olarak zaten hesaplamıştık. Aşağıdakilerden farklılıklar elde etmek için veri değerlerinin her birinden bunu çıkarın:
- 1 – 5 = -4
- 3 – 5 = -2
- 6 – 5 = 1
- 10 – 5 = 5
Bu değerlerin her birinin karesini alıyoruz ve birleştiriyoruz: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. Son olarak bu sayıyı veri noktası sayısına bölün: 46/4 = 11.5
Moment Uygulamaları
Yukarıda belirtildiği gibi, ilk moment ortalama ve ortalama hakkındaki ikinci moment örnek varyans. Karl Pearson üçüncü anın ortalamanın hesaplanmasında kullanımını tanıttı çarpıklık ve hesaplamadaki ortalama ile ilgili dördüncü moment Basıklık.