St.Petersburg Paradoksu Nedir?

Rusya'nın St.Petersburg sokaklarındasınız ve yaşlı bir adam aşağıdaki oyunu öneriyor. Bir madeni para çevirir (ve adil bir para olduğuna güvenmiyorsanız, sizden birini ödünç alır). Eğer kuyruklar düşerse o zaman kaybedersiniz ve oyun sona erer. Madeni para yükselirse bir ruble kazanırsınız ve oyun devam eder. Bozuk para tekrar atılır. Eğer kuyruksa, oyun biter. Kafa ise, ek iki ruble kazanırsınız. Oyun bu şekilde devam ediyor. Birbirini takip eden her kafa için önceki turdan kazandığımız kazancı ikiye katlıyoruz, ancak ilk kuyruğun işaretinde oyun bitiyor.

Bu oyunu oynamak için ne kadar ödersiniz? Düşündüğümüzde beklenen değer Bu oyunun, ne pahasına olursa olsun, şans eseri atlamak gerekir. Bununla birlikte, yukarıdaki açıklamadan, muhtemelen çok fazla ödeme yapmak istemezsiniz. Sonuçta, hiçbir şey kazanma olasılığı% 50'dir. Bu, 1738 Daniel Bernoulli yayını nedeniyle adlandırılan St.Petersburg Paradoksu olarak bilinir. Saint Petersburg İmparatorluk Bilim Akademisi'nin yorumları.

Hesaplayarak başlayalım olasılıklar Bu oyunla ilişkili. Adil bir madalyonun yükselme olasılığı 1/2'dir. Her madalyon atma bağımsız bir olaydır ve bu nedenle olasılıkları muhtemelen bir ağaç diyagramı.

• Arka arkaya iki kafa olasılığı (1/2)) x (1/2) = 1/4'tür.
• Arka arkaya üç kafa olasılığı (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8'dir.
• Olasılığını ifade etmek n arka arkaya kafalar, nerede n 1/2 yazmak için üs kullandığımız pozitif bir tam sayıdırⁿ.

Şimdi devam edelim ve kazançların her turda ne olacağını genelleştirip genelleştiremeyeceğimizi görelim.

• İlk turda bir kafanız varsa, o tur için bir ruble kazanırsınız.
• İkinci turda bir kafa varsa, o turda iki ruble kazanırsınız.
• Üçüncü turda bir kafa varsa, o turda dört ruble kazanırsınız.
• Eğer tüm yol boyunca yapmak için yeterince şanslıysanız n^inci tur, o zaman 2 kazanacaksın^N-1 o turda ruble.

Bir oyunun beklenen değeri, oyunu birçok kez oynarsanız, kazancın ne olacağını ortalama olarak söyler. Beklenen değeri hesaplamak için, her turdaki kazançların değerini bu tura ulaşma olasılığı ile çarpıyoruz ve sonra tüm bu ürünleri bir araya getiriyoruz.

• İlk turdan itibaren 1/2 olasılık ve 1 ruble kazanırsınız: 1/2 x 1 = 1/2
• İkinci turdan itibaren 1/4 olasılık ve 2 ruble kazanırsınız: 1/4 x 2 = 1/2
• İlk turdan, 1/8 olasılık ve 4 ruble kazançlarınız var: 1/8 x 4 = 1/2
• İlk turdan itibaren 1/16 olasılık ve 8 ruble kazançlarınız var: 1/16 x 8 = 1/2
• İlk turdan itibaren olasılık 1/2ⁿ ve 2 kazanç^N-1 ruble: 1/2ⁿ x 2^N-1 = 1/2

Her turdaki değer 1/2'dir ve ilk turdan sonuçlar eklenir n birlikte tur bize beklenen değeri verir n/ 2 ruble. Dan beri n herhangi bir pozitif tam sayı olabilir, beklenen değer sınırsızdır.

Peki oynamak için ne ödemeniz gerekir? Bir ruble, bin ruble veya hatta bir ruble milyar ruble, uzun vadede, beklenen değerden daha az olacaktır. Yukarıdaki hesaplamaya anlatılmamış zenginlik vaat etmesine rağmen, hepimiz hala oynamak için çok fazla ödeme yapmak konusunda isteksiz oluruz.

Paradoksu çözmenin birçok yolu vardır. Daha basit yollardan biri, hiç kimsenin yukarıda açıklanan gibi bir oyun sunmamasıdır. Hiç kimse, kafalarını çevirmeye devam eden birine ödeme yapmak için gereken sonsuz kaynaklara sahip değildir.

Paradoksu çözmenin bir başka yolu, arka arkaya 20 kafa gibi bir şey elde etmenin ne kadar imkansız olduğunu belirtmektir. olasılık Bu durumun çoğu devleti kazanmaktan daha iyidir piyangolar. İnsanlar rutin olarak bu tür piyangoları beş dolar veya daha az oynarlar. Bu yüzden St.Petersburg oyunu oynamak için fiyat muhtemelen birkaç doları geçmemelidir.

Eğer adam St.Petersburg oyununu oynamak için birkaç ruble daha pahalıya mal olacağını söylüyor, kibarca reddetmeli ve uzaklaşmalısınız. Ruble zaten değmez.