Binom Dağılımı için Moment Üretme Fonksiyonu

Rasgele bir değişkenin ortalaması ve varyansı X Birlikte binom olasılık dağılımı doğrudan hesaplamak zor olabilir. Her ne kadar net tanımını kullanarak yapılması gereken beklenen değer nın-nin X ve X², bu adımların asıl yürütülmesi cebir ve özetlerin zor bir dönüşümüdür. A'nın ortalamasını ve varyansını belirlemenin alternatif bir yolu Binom dağılımı kullanmaktır moment üreten fonksiyon için X.

Rastgele değişken ile başlayın X ve tarif et olasılık dağılımı daha spesifik olarak. yapmak n Her biri başarı olasılığı bulunan bağımsız Bernoulli çalışmaları p ve arıza olasılığı 1 - p. Böylece olasılık kütle fonksiyonu

f (x) = C(n, x)p^x(1 – p)^{n - x}

İşte terim C(n, x), kombinasyon sayısını belirtir n alınan elemanlar x bir seferde ve x 0, 1, 2, 3, değerlerini alabilir..., n.

Moment üretme fonksiyonunu elde etmek için bu olasılık kütle fonksiyonunu kullanın. X:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿe^txC(n,x)>)p^x(1 – p)^{n - x}.

Terimleri üssü ile birleştirebileceğiniz açıktır. x:

M(t) = Σ_{x = 0}ⁿ (pe^t)^xC(n,x)>)(1 – p)^{n - x}.

Ayrıca, binom formülü kullanılarak yukarıdaki ifade basitçe:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Bulmak için anlamına gelmek ve varyans, her ikisini de bilmeniz gerekir M’(0) ve M’’(0). Türevlerinizi hesaplayarak başlayın ve her birini şu adreste değerlendirin: t = 0.

Anı üreten fonksiyonun ilk türevinin:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Bundan, olasılık dağılımının ortalamasını hesaplayabilirsiniz. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Bu, doğrudan ortalamanın tanımından elde ettiğimiz ifadeyle eşleşir.

Varyansın hesaplanması benzer şekilde yapılır. İlk olarak, moment üreten fonksiyonu tekrar ayırt edin ve sonra bu türevi t = 0. Burada göreceksin

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Bu rastgele değişkenin varyansını hesaplamak için bulmanız gerekir M’’(t). İşte burada M’’(0) = n(n - 1)p² +np. Varyans σ² dağıtımınız

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Her ne kadar bu yöntem biraz dahil olsa da, ortalama ve varyansın doğrudan olasılık kütle fonksiyonundan hesaplanması kadar karmaşık değildir.