Koşullu Olasılık: Gösterim ve Örnekler

Bunun açık bir örneği şartlı olasılık standart bir kart destesinden çekilen bir kartın bir kral olma olasılığıdır. 52 karttan toplam dört kral vardır ve bu nedenle olasılık 4/52'dir. Bu hesaplama ile ilgili şu soru: "Bir kralı çizme ihtimalimiz nedir? desteden bir kart çıkardık ve bu bir as mı? "Burada destenin içeriğini düşünüyoruz kartları. Hala dört kral var, ama şimdi destede sadece 51 kart var. Zaten bir asın çizildiği göz önüne alındığında bir kral çizme olasılığı 4/51'dir.

Şartlı olasılık başka bir olayın gerçekleşmesi göz önüne alındığında bir olayın olasılığı olarak tanımlanır. Bu olayları adlandırırsak bir ve B, sonra olasılığı hakkında konuşabiliriz bir verilmiş B. Ayrıca, bir bağımlı B.

Koşullu olasılık gösterimi ders kitabından ders kitabına değişir. Tüm gösterimlerde, belirtmek, bahsettiğimiz olasılığın başka bir olaya bağlı olduğudur. Olasılığı için en yaygın gösterimlerden biri bir verilmiş B dır-dir P (A | B). Kullanılan diğer bir gösterim P_B(A).

Koşullu olasılık için, bunu olasılığa bağlayan bir formül vardır. bir ve B:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B)

Esasen bu formülün söylediği, olayın koşullu olasılığını hesaplamaktır bir olay verildi B, örnek alanımızı yalnızca setten oluşacak şekilde değiştiririz B. Bunu yaparken, tüm etkinliği dikkate almayız bir, ancak yalnızca bir içinde bulunan B. Az önce tanımladığımız set daha tanıdık terimlerle tanımlanabilir. kesişim nın-nin bir ve B.

Kullanabiliriz cebir yukarıdaki formülü farklı bir şekilde ifade etmek için:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Bu bilgiler ışığında başladığımız örneği tekrar ziyaret edeceğiz. Zaten bir asın çizildiği göz önüne alındığında, bir kral çizme olasılığını bilmek istiyoruz. Böylece olay bir bir kral çizmemiz. Etkinlik B bir as çizmemiz.

Her iki olayın gerçekleşme olasılığı ve bir as ve sonra bir kral çizme olasılığı P'ye (A ∩ B) karşılık gelir. Bu olasılığın değeri 12/2652'dir. Olay olasılığı B, bir as çizdiğimiz 4/52. Bu nedenle koşullu olasılık formülünü kullanıyoruz ve bir asdan daha fazla verilen bir kralı çizme olasılığının (16/2652) / (4/52) = 4/51 olduğunu görüyoruz.

Başka bir örnek olarak, olasılık denemesine bakacağız. iki zar at. Sorabileceğimiz bir soru, “Altıdan az bir miktar yuvarladığımız düşünüldüğünde, üçü atma olasılığımız nedir?”

İşte olay bir üç tane yuvarladık ve olay B altıdan daha az bir miktar yuvarladık. İki zar atmanın toplam 36 yolu vardır. Bu 36 yoldan, altıdan az bir toplamı on şekilde yuvarlayabiliriz:

• 1 + 1 = 2
• 1 + 2 = 3
• 1 + 3 = 4
• 1 + 4 = 5
• 2 + 1 = 3
• 2 + 2 = 4
• 2 + 3 = 5
• 3 + 1 = 4
• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5

Koşullu olasılığın bir olay verildi B olasılığına eşittir bir. Bu durumda diyoruz ki olaylar bir ve B birbirinden bağımsızdır. Yukarıdaki formül şöyle olur:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

ve bağımsız olaylar için her ikisinin de bir ve B şu olayların her birinin olasılıkları çarpılarak bulunur:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

İki olay bağımsız olduğunda, bir olayın diğeri üzerinde etkisi olmadığı anlamına gelir. Bir madeni parayı ve sonra diğerini çevirmek bağımsız olaylara bir örnektir. Bir bozuk para flipinin diğeri üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Hangi olayın diğerine bağlı olduğunu belirlemeye çok dikkat edin. Genel olarak P (A | B) eşit değildir P (B | A). Olasılığı bir olay verildi B olasılığı ile aynı değildir B olay verildi bir.

Yukarıdaki bir örnekte, iki zarın yuvarlanmasında, altıdan az bir toplam yuvarladığımız göz önüne alındığında, üç zarın yuvarlanma olasılığının 4/10 olduğunu gördük. Öte yandan, üçünü yuvarladığımız düşünüldüğünde altıdan az bir toplam haddeleme olasılığı nedir? Üç ve altı olmak üzere toplamı yuvarlama olasılığı 4 / 36'dır. En az bir üçünü haddeleme olasılığı 11/36'dır. Yani bu durumda koşullu olasılık (4/36) / (11/36) = 4/11'dir.