Olasılıkla ilgili çeşitli teoremler, olasılık aksiyomları. Bu teoremler bilmek isteyebileceğimiz olasılıkları hesaplamak için uygulanabilir. Böyle bir sonuç, tamamlayıcı kuralı olarak bilinir. Bu ifade, bir Etkinlikbir tamamlayıcının olasılığını bilerek birC. Tamamlayıcı kuralını belirledikten sonra, bu sonucun nasıl kanıtlanabileceğini göreceğiz.
Tamamlayıcı Kural
Etkinliğin tamamlayıcısı bir tarafından belirtilir birC. Tamamlayıcısı bir bu Ayarlamak evrensel kümedeki tüm öğelerin örnekleme alanı S, setin öğeleri değil bir.
Tamamlayıcı kuralı aşağıdaki denklemle ifade edilir:
P (birC) = 1 - P (bir)
Burada bir olayın ve tamamlayıcının olasılığının 1'e düşmesi gerektiğini görüyoruz.
Tamamlayıcı Kuralın Kanıtı
Kompleman kuralını kanıtlamak için, olasılık aksiyomları ile başlarız. Bu ifadeler kanıt olmadan varsayılmıştır. Bir olayın tamamlanması olasılığı hakkındaki açıklamamızı kanıtlamak için sistematik olarak kullanılabileceklerini göreceğiz.
- İlk olasılık aksiyomu, herhangi bir olayın olasılığının negatif olmayan bir şey olduğudur gerçek Numara.
- Olasılıkın ikinci aksiyomu, tüm numune uzayının olasılığının S biridir. Sembolik olarak P (S) = 1.
- Üçüncü olasılık aksiyomu, bir ve B karşılıklı olarak münhasırdırlar (yani boş bir kavşağa sahip oldukları anlamına gelir), o zaman bu olayların birliği P (bir U B ) = P (bir) + P (B).
Kompleman kuralı için yukarıdaki listedeki ilk aksiyomu kullanmamız gerekmeyecektir.
İfademizi kanıtlamak için olayları göz önünde bulunduruyoruz birve birC. Küme teorisinden biliyoruz ki, bu iki kümenin boş kesişimi vardır. Bunun nedeni, bir öğenin aynı anda her ikisinde birden bulunamamasıdır. bir ve içinde değil bir. Boş bir kavşak olduğu için, bu iki set birbirini dışlayan.
İki olayın birliği bir ve birC önemlidir. Bunlar kapsamlı olaylar oluşturur, yani Birlik bu olayların hepsi örnek alan S.
Aksiyomlarla birlikte bu gerçekler bize denklemi verir
1 = P (S) = P (bir U birC) = P (bir) + P (birC) .
İlk eşitlik ikinci olasılık aksiyomundan kaynaklanmaktadır. İkinci eşitlik, olayların bir ve birC kapsamlı. Üçüncü eşitlik, üçüncü olasılık aksiyomundan kaynaklanmaktadır.
Yukarıdaki denklem, yukarıda belirttiğimiz forma yeniden düzenlenebilir. Yapmamız gereken tek şey, bir denkleminin her iki tarafından. Böylece
1 = P (bir) + P (birC)
denklem haline gelir
P (birC) = 1 - P (bir).
Elbette, kuralı şu şekilde ifade edebiliriz:
P (bir) = 1 - P (birC).
Bu denklemlerin üçü de aynı şeyi söylemenin eşdeğer yoludur. Bu kanıttan, sadece iki aksiyom ve bazı set teorilerin olasılıkla ilgili yeni ifadeleri kanıtlamamıza nasıl yardımcı olabileceğini görüyoruz.