Matematik kariyerinde oldukça erken öğreniyoruz ki faktöryel, negatif olmayan tamsayılar için tanımlanmış n, tekrarlanan çarpmayı tanımlamanın bir yoludur. Bir ünlem işareti kullanılarak gösterilir. Örneğin:
Bu tanıma bir istisna sıfır faktöryeldir, burada 0! = 1. Faktöriyel için bu değerlere baktığımızda, n ile n!. Bu bize (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720) ve benzerlerini verir. üzerinde.
Gama fonksiyonunun tanımı çok karmaşıktır. Çok garip görünen karmaşık görünümlü bir formül içerir. Gama fonksiyonu, tanımında bazı hesaplar kullanır. numara e Polinomlar veya trigonometrik fonksiyonlar gibi daha tanıdık fonksiyonlardan farklı olarak, gama fonksiyonu başka bir fonksiyonun yanlış integrali olarak tanımlanır.
Gama fonksiyonunun tanımı, bir dizi kimliği göstermek için kullanılabilir. Bunların en önemlilerinden biri Γ ( z + 1 ) = z Γ( z ). Bunu ve doğrudan hesaplamadan Γ (1) = 1 olduğu gerçeğini kullanabiliriz:
Ancak gama işlevine yalnızca tam sayı girmemize gerek yoktur. Negatif bir tam sayı olmayan herhangi bir karmaşık sayı gama işlevinin etki alanındadır. Bu, faktöriyeli negatif olmayan tamsayılar dışındaki sayılara genişletebileceğimiz anlamına gelir. Bu değerlerden en iyi bilinen (ve şaşırtıcı) sonuçlardan biri Γ (1/2) = √π 'dir.
Sonuncusuna benzer başka bir sonuç Γ (1/2) = -2π. Gerçekten de, gama fonksiyonu, fonksiyona 1/2 oranında tek bir kat girdiğinde her zaman pi'nin kare kökünün katının bir çıktısını üretir.
Gama fonksiyonu, görünüşte ilgisiz birçok matematik alanında ortaya çıkar. Özellikle, gama fonksiyonu tarafından sağlanan faktöriyellerin genelleştirilmesi bazı kombinatorik ve olasılık problemlerinde yardımcı olmaktadır. Biraz olasılık dağılımları doğrudan gama fonksiyonu olarak tanımlanır. Örneğin, gama dağılımı gama fonksiyonu olarak belirtilir. Bu dağılım depremler arasındaki zaman aralığını modellemek için kullanılabilir. Öğrenci t dağılımı, bilinmeyen bir popülasyon standart sapmasına sahip olduğumuz veriler için kullanılabilir ve ki-kare dağılımı gama fonksiyonu açısından da tanımlanır.