Tek Ruloda Yahtzee'de Küçük Bir Düzün Olasılığı

Yahtzee, beş standart altı taraflı zar kullanan bir zar oyunudur. Her turda oyunculara üç çeşitli hedeflere ulaşmak için. Her atıştan sonra, bir oyuncu hangi zarın (varsa) saklanacağına ve hangilerinin yeniden kaydedileceğine karar verebilir. Hedefler, birçoğu pokerden alınan çeşitli farklı kombinasyonları içerir. Her farklı kombinasyon farklı puanlara değer.

Oyuncuların oynaması gereken kombinasyon türlerinden ikisi denir straights: küçük bir düz ve büyük bir düz. Poker zorlukları gibi, bu kombinasyonlar da sıralı zarlardan oluşur. Küçük düzlükler beş zardan dördünü kullanır ve büyük düzlükler Beş zarın hepsini kullanın. Zarların yuvarlanmasının rastgele olması nedeniyle, olasılık, küçük bir düzün tek bir ruloda yuvarlanma olasılığını analiz etmek için kullanılabilir.

Kullanılan zarların adil ve birbirinden bağımsız olduğunu varsayıyoruz. Böylece beş zarın tüm olası rulolarından oluşan muntazam bir numune alanı vardır. olmasına rağmen Yahtzee üç ruloya izin verir, basitlik için sadece tek bir ruloda küçük bir düz elde ettiğimiz durumu ele alacağız.

Bir ile çalıştığımız için üniformaörnekleme alanı, olasılığımızın hesaplanması birkaç sayım probleminin hesaplanması haline gelir. Küçük bir düzün olasılığı, küçük bir düzü yuvarlamanın yol sayısının, örnek uzayındaki sonuç sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Örnek uzayındaki sonuç sayısını saymak çok kolaydır. Beş zar atıyoruz ve bu zarların her biri altı farklı sonuçtan birine sahip olabilir. Çarpma prensibinin temel bir uygulaması bize örnek uzayının 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6 olduğunu söyler⁵ = 7776 sonuç. Bu sayı, olasılığımız için kullandığımız kesirlerin paydası olacaktır.

Sonra, küçük bir düz rulo için kaç yol olduğunu bilmemiz gerekir. Bu, örnek boşluğunun boyutunu hesaplamaktan daha zordur. Kaç tane zor olabileceğini sayarak başlıyoruz.

Küçük bir düzün yuvarlanması büyük bir düzden daha kolaydır, ancak bu tür bir düzün yuvarlanma yollarının sayısını saymak daha zordur. Küçük bir düz tam olarak dört ardışık sayıdan oluşur. Kalıbın altı farklı yüzü olduğundan, üç olası küçük düzlük vardır: {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5} ve {3, 4, 5, 6}. Zorluk, beşinci ölümle ne olacağını düşünmede ortaya çıkar. Bu vakaların her birinde, beşinci kalıp, büyük bir düz oluşturmayan bir sayı olmalıdır. Örneğin, ilk dört zar 1, 2, 3 ve 4 olsaydı, beşinci kalıp 5 dışında bir şey olabilir. Beşinci kalıp 5 olsaydı, küçük bir düz yerine büyük bir düz olurdu.

Bu, küçük düz {1, 2, 3, 4}, beş mümkün olan beş olası rulo olduğu anlamına gelir küçük düz {3, 4, 5, 6} veren rulolar ve küçük düz {2, 3, 4, 5}. Bu son durum farklıdır çünkü beşinci kalıp için 1 veya 6 döndürmek {2, 3, 4, 5} 'i büyük bir düz haline getirecektir. Bu, beş zarın bize küçük bir düz vermesinin 14 farklı yolu olduğu anlamına gelir.

Şimdi, bize düz bir zar veren belirli bir zar setinin farklı yollarını belirliyoruz. Bunu yapmanın sadece kaç yolu olduğunu bilmemiz gerektiğinden, bazı temel sayma tekniklerini kullanabiliriz.

Küçük düzlükler elde etmenin 14 farklı yolundan, bu {1,2,3,4,6} ve {1,3,4,5,6} 'dan sadece ikisi farklı elementlere sahip kümelerdir. 5 tane var! = Toplam 2 x 5 için her biri yuvarlamanın 120 yolu! = 240 küçük düzlük.

Küçük bir düzlük elde etmenin diğer 12 yolu, hepsi tekrarlanan bir eleman içerdiğinden teknik olarak çoklu setlerdir. [1,1,2,3,4] gibi belirli bir çoklu küme için, bunu yuvarlamanın farklı yollarını sayacağız. Zarları arka arkaya beş pozisyon olarak düşünün:

• Beş zar arasında iki tekrarlanan elemanı konumlandırmanın C (5,2) = 10 yolu vardır.
• 3 tane var! = Üç farklı elemanı düzenlemenin 6 yolu.

Çarpma prensibi ile, zarları 1,1,2,3,4 tek bir rulo halinde yuvarlamanın 6 x 10 = 60 farklı yolu vardır.

Bu özel beşinci kalıpla bu kadar küçük bir düz atmanın 60 yolu vardır. Beş zardan oluşan farklı bir liste veren 12 çoklu set olduğundan, iki zarın eşleştiği küçük bir düz atmak için 60 x 12 = 720 yol vardır.

Toplamda 2 x 5 var! + 12 x 60 = 960 küçük bir düz döndürme yolu.

Şimdi küçük bir düzlük haddeleme olasılığı basit bir bölme hesaplamasıdır. Küçük bir düzü tek bir ruloda yuvarlamanın 960 farklı yolu olduğundan ve 7776 rulo beş zar mümkün, küçük bir düz haddeleme olasılığı 960/7776, bu 1/8 yakın ve 12.3%.

Tabii ki, ilk rulonun düz olmaması daha olasıdır. Bu durumda, küçük bir düz çok daha muhtemel hale getiren iki rulo daha izin verilir. Bunun olasılığı, dikkate alınması gereken tüm olası durumlar nedeniyle belirlenmesi için çok daha karmaşıktır.