Simetrik Farkın Tanımını Anlama

Küme teorisi eskilerinden yeni kümeler oluşturmak için bir dizi farklı işlem kullanır. Diğerleri hariç tutarken belirli setlerden belirli elemanları seçmenin çeşitli yolları vardır. Sonuç tipik olarak orijinallerden farklı bir kümedir. Bu yeni kümeleri oluşturmak için iyi tanımlanmış yollara sahip olmak önemlidir ve bunlara örnekler arasında Birlik, kesişim, ve iki set farkı. Belki daha az bilinen bir işleme simetrik fark denir.

Simetrik farkın tanımını anlamak için önce 'veya' kelimesini anlamalıyız. Küçük olmasına rağmen, 'veya' kelimesinin İngilizce dilinde iki farklı kullanımı vardır. Münhasır veya kapsayıcı olabilir (ve sadece bu cümlede kullanılmıştır). A veya B arasından seçim yapabileceğimiz söylenirse ve bu anlam özeldir, o zaman bu iki seçenekten sadece birine sahip olabiliriz. Eğer anlam kapsayıcıysa, A'ya sahip olabiliriz, B'ye sahip olabiliriz, ya da A ve B'ye sahip olabiliriz.

Tipik olarak, bu kelimeye karşı geldiğimizde bize yol gösterir veya bunun nasıl kullanıldığını düşünmemiz bile gerekmez. Bize krem ​​veya şeker isteyip istemediğimiz sorulursa

Bu nedenle 'veya' kelimesi, birliğin tanımında kapsayıcı anlamda kullanılır. A ve B kümelerinin birleşmesi, A veya B'deki öğeler kümesidir (her iki kümedeki öğeler de dahil). Ancak 'veya' münhasır anlamda kullanıldığı, A veya B'de elemanları içeren seti oluşturan bir küme işlemine sahip olmak faydalı olacaktır. Simetrik fark dediğimiz şey bu. A ve B kümelerinin simetrik farkı A veya B'deki elementlerdir, ancak A ve B'deki elementler değildir. Gösterim simetrik fark için farklılık gösterse de, bunu şu şekilde yazacağız: A ∆ B

Simetrik farkın bir örneği için, setleri dikkate alacağız bir = {1,2,3,4,5} ve B = {2,4,6}. Bu kümeler arasındaki simetrik fark {1,3,5,6} 'dır.

Simetrik farkı tanımlamak için diğer ayar işlemleri kullanılabilir. Yukarıdaki tanımdan, A ve B'nin simetrik farkını, A ve B birleşiminin farkı ve A ve B'nin kesişimi olarak ifade edebileceğimiz açıktır. Sembollerde şunu yazıyoruz: A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B).

Eşdeğer bir ifade, bazı farklı küme işlemleri kullanarak, ad simetrik farkını açıklamaya yardımcı olur. Yukarıdaki formülasyonu kullanmak yerine, simetrik farkı aşağıdaki gibi yazabiliriz: (A - B) ∪ (B - A). Burada yine simetrik farkın A'daki ancak B'deki veya B'deki ancak A'daki öğeler kümesi olduğunu görüyoruz. Böylece A ve B'nin kesişme noktasında bu unsurları hariç tuttuk. Bu iki formülün eşdeğer olduğunu ve aynı kümeye atıfta bulunduğunu matematiksel olarak kanıtlamak mümkündür.

Simetrik ad adı, iki kümenin farkı ile bir bağlantı önerir. Bu ayarlanmış fark yukarıdaki her iki formülde de belirgindir. Her birinde iki set farkı hesaplandı. Simetrik farkı farktan ayıran şey simetrisidir. Yapım gereği, A ve B'nin rolleri değiştirilebilir. Bu, iki set arasındaki fark için doğru değildir.

Bu noktayı vurgulamak için, sadece küçük bir çalışma ile gördüğümüzden beri simetrik farkın simetrisini göreceğiz A ∆ B = (A - B) ∪ (B - A) = (B - A) ∪ (A - B) = B ∆ A.