İstatistiklerde Standart Normal Dağılım Nedir?

Çan eğrileri istatistik boyunca görünmek. Tohumların çapları, balık yüzgeçlerinin uzunlukları, SAT üzerindeki puanlar ve bir kağıt topunun ayrı yapraklarının ağırlıkları gibi çeşitli ölçümler, grafik olarak çizildiğinde çan eğrileri oluşturur. Tüm bu eğrilerin genel şekli aynıdır. Ancak tüm bu eğriler farklıdır, çünkü herhangi birinin aynı ortalama veya standart sapmayı paylaşması pek olası değildir. Büyük standart sapmalara sahip çan eğrileri geniştir ve küçük standart sapmalara sahip çan eğrileri sıskadır. Daha büyük araçlara sahip çan eğrileri, daha küçük araçlara sahip olanlardan daha sağa kaydırılır.

Bunu biraz daha somut hale getirmek için, 500 çekirdek mısırın çaplarını ölçtüğümüzü varsayalım. Sonra bu verileri kaydeder, analiz eder ve grafiğe ekleriz. Veri setinin çan eğrisi gibi şekillendiği ve standart sapması 0,4 cm olan ortalama 1,2 cm olduğu bulunmuştur. Şimdi aynı şeyi 500 fasulye ile yaptığımızı ve ortalama çapı 0,8 cm olduğunu ve standart sapma 0,04 cm olduğunu bulduk.

Her iki veri setinden gelen çan eğrileri yukarıda çizilmiştir. Kırmızı eğri mısır verilerine ve yeşil eğri fasulye verilerine karşılık gelir. Gördüğümüz gibi, bu iki eğrinin merkezleri ve yayılımları farklıdır.

Bunlar açıkça iki farklı çan eğrisi. Farklılar çünkü araçları ve Standart sapma eşleşmiyor. Karşılaştığımız herhangi bir ilginç veri kümesi standart sapma olarak herhangi bir pozitif sayıya ve ortalama için herhangi bir sayıya sahip olabileceğinden, gerçekten sadece bir sonsuz çan eğrisi sayısı. Bu çok fazla eğri ve başa çıkmak için çok fazla. Çözüm nedir?

Matematiğin bir amacı, mümkün olan her şeyde genelleme yapmaktır. Bazen birkaç bireysel sorun, tek bir sorunun özel durumlarıdır. Çan eğrilerini içeren bu durum bunun harika bir örneğidir. Sonsuz sayıda çan eğrisi ile uğraşmak yerine, hepsini tek bir eğriyle ilişkilendirebiliriz. Bu özel çan eğrisine standart çan eğrisi veya standart normal dağılım denir.

Standart çan eğrisinin ortalaması sıfır ve standart sapması birdir. Başka herhangi bir çan eğrisi, bir standart vasıtasıyla bu standartla karşılaştırılabilir. açık hesaplama.

Herhangi bir çan eğrisinin tüm özellikleri standart normal dağılım için geçerlidir.

• Standart normal dağılımın ortalaması sadece sıfır değil, aynı zamanda medyan ve sıfır modudur. Burası eğrinin merkezidir.
• Standart normal dağılım ayna simetrisini sıfırda gösterir. Eğrinin yarısı sıfırın solunda ve eğrinin yarısı sağdadır. Eğri dikey bir çizgi boyunca sıfır olarak katlanmışsa, her iki yarı da mükemmel şekilde eşleşir.
• Standart normal dağılım 68-95-99.7 kuralını izler ve bu bize aşağıdakileri tahmin etmenin kolay bir yolunu sunar:
  • Tüm verilerin yaklaşık% 68'i -1 ile 1 arasındadır.
  • Tüm verilerin yaklaşık% 95'i -2 ile 2 arasındadır.
  • Tüm verilerin yaklaşık% 99,7'si -3 ile 3 arasındadır.

Bu noktada, “Neden standart bir çan eğrisi ile uğraşıyorsunuz?” Diye soruyor olabiliriz. Gereksiz bir komplikasyon gibi görünebilir, ancak istatistiklerde devam ederken standart çan eğrisi faydalı olacaktır.

İstatistiklerdeki bir tür sorunun, karşılaştığımız herhangi bir çan eğrisinin bölümlerinin altındaki alanları bulmamızı gerektirdiğini göreceğiz. Çan eğrisi alanlar için hoş bir şekil değildir. Bir dikdörtgen gibi değil ya da dik üçgen kolay olan alan formülleri. Bir çan eğrisinin parçalarının alanlarını bulmak biraz zor olabilir, aslında biraz hesap kullanmamız gerekir. Çan eğrilerimizi standartlaştırmazsak, her bir alan bulmak istediğimizde biraz hesaplama yapmamız gerekirdi. Eğrilerimizi standartlaştırırsak, alanların hesaplanması için tüm çalışmalar bizim için yapıldı.