Matematikte 'Sadece ve Sadece' nasıl kullanılır

İstatistikler ve matematik hakkında okurken, düzenli olarak ortaya çıkan bir cümle “yalnızca ve sadece” dir. Bu cümle özellikle matematiksel teorem veya kanıt ifadelerinde yer almaktadır. Ancak bu ifade tam olarak ne anlama geliyor?

“Eğer ve sadece eğer” anlamak için önce koşullu ifadeyle neyin kastedildiğini bilmemiz gerekir. Koşullu bir ifade, P ve Q ile ifade edeceğimiz diğer iki ifadeden oluşan bir ifadedir. Koşullu bir ifade oluşturmak için “eğer P sonra Q” ise diyebiliriz.

Aşağıda bu tür ifadelere örnekler verilmiştir:

• Dışarıda yağmur yağıyorsa, yürüyüşümde yanımda şemsiyemi alıyorum.
• Çok çalışıyorsanız, bir A kazanacaksınız.
• Eğer n 4 ile bölünebilir, o zaman n 2 ile bölünebilir.

Diğer üç ifade herhangi bir koşullu ifadeyle ilişkilidir. Bunlara sohbet, ters ve çelişkili. Bu ifadeleri P ve Q'nun sırasını orijinal koşuldan değiştirerek ve ters ve çelişkili için “not” kelimesini ekleyerek oluştururuz.

Buradaki sadece konuşmayı düşünmemiz gerekiyor. Bu ifade orijinalinden “eğer Q sonra P” diyerek elde edilir. Varsayalım ki koşullu “dışarıda yağmur yağıyorsa, o zaman ben şemsiyemi yürüyüşümde yanımda götür. ” Bu ifadenin tersi, “yürüyüşümde şemsiyemi yanımda götürürsem, o zaman yağmur yağıyor dışarıda."

Bu koşulun yalnızca orijinal koşulun mantıksal olarak tersiyle aynı olmadığını fark etmek için düşünmemiz gerekir. Bu iki ifade biçiminin karışıklığı, konuşma hatası. Dışarıda yağmur olmasa bile, yürüyüşe şemsiye alabilir.

Başka bir örnek için, “Bir sayı 4 ile bölünebiliyorsa 2 ile bölünebilir” koşulunu dikkate alırız. Bu ifade açıkça doğrudur. Ancak, bu ifadenin "Bir sayı 2 ile bölünebilirse, 4 ile bölünebilirse" ifadesinin tersi yanlıştır. Sadece 6 gibi bir sayıya bakmamız gerekiyor. 2 bu sayıyı bölese de 4 değildir. Orijinal ifade doğru olsa da, bunun tersi doğru değildir.

Bu bizi "sadece ve sadece" ifadesi olarak da bilinen iki yönlü bir ifadeye götürür. Bazı koşullu ifadelerin de doğru dönüşümleri vardır. Bu durumda, iki yönlü bir ifade olarak bilinen şeyi oluşturabiliriz. İki yönlü bir ifade şu şekildedir:

“P sonra Q, eğer Q sonra P ise”

Bundan beri inşaat özellikle P ve Q kendi mantıksal ifadeleri olduğunda, iki ifadeli bir ifadeyi, "ancak ve ancak." Bunun yerine "eğer P sonra Q ve eğer Q sonra P" demek yerine "P if ve sadece Q ise" diyoruz. Bu yapı, bazı fazlalık.

İstatistikleri içeren “yalnızca ve yalnızca” ifadesinin bir örneği için, örnek standart sapma ile ilgili bir olgudan başka bir yere bakmayın. Bir veri kümesinin örnek standart sapması şuna eşittir: sıfır yalnızca ve eğer tüm veri değerleri aynı ise.

Bu iki yönlü ifadeyi bir koşullu ve bunun tersine bölüyoruz. Sonra bu ifadenin aşağıdakilerin her ikisi de anlamına geldiğini görüyoruz:

• Standart sapma sıfırsa, tüm veri değerleri aynıdır.
• Tüm veri değerleri aynı ise, standart sapma sıfıra eşittir.

İki yönlü bir kanıtlamaya çalışırsak, çoğu zaman onu bölürüz. Bu, kanıtımızın iki bölümden oluşmasını sağlar. Kanıtladığımız bir kısım “eğer P sonra Q” ise. İhtiyacımız olan ispatın diğer kısmı “eğer Q sonra P” ise.

İki koşullu ifadeler hem gerekli hem de yeterli koşullarla ilgilidir. “Bugün ise Paskalya, yarın Pazartesi. ” Bugün Paskalya olmak yarının Pazartesi olması için yeterli, ancak gerekli değil. Bugün Paskalya dışında herhangi bir Pazar olabilir ve yarın yine Pazartesi olur.

Matematiksel yazıda kendi kısaltmasına sahip olduğu için yeterince kullanılırsa “sadece ve sadece” ifadesi kullanılır. Bazen “if ve only if” ifadesinin ifadesindeki iki koşullu basitçe “iff” olarak kısaltılır. Böylece, “P ve sadece Q” ifadesi “P iff Q” olursa.