Bir ortalamanın ve varyansın hesaplanmasının bir yolu olasılık dağılımı bulmak beklenen değerler rastgele değişkenlerin X ve X2. Notasyonu kullanıyoruz E(X) ve E(X2) bu beklenen değerleri belirtmek için kullanılır. Genel olarak hesaplamak zordur E(X) ve E(X2) direkt olarak. Bu zorluğun üstesinden gelmek için, daha gelişmiş bir matematik teorisi ve hesabı kullanıyoruz. Sonuç, hesaplamalarımızı kolaylaştıran bir şeydir.
Bu sorunun stratejisi, yeni bir değişkenin yeni bir işlevini tanımlamaktır t buna moment üreten fonksiyon denir. Bu fonksiyon, sadece türev alarak anları hesaplamamızı sağlar.
Varsayımlar
Moment üreten fonksiyonu tanımlamadan önce, sahneyi gösterim ve tanımlarla ayarlayarak başlarız. İzin verdik X olmak Ayrık rassal değişken. Bu rastgele değişken olasılık kütle fonksiyonuna sahiptir f(x). Üzerinde çalıştığımız örnek alan, S.
Beklenen değerini hesaplamak yerine Xile ilgili üstel bir fonksiyonun beklenen değerini hesaplamak istiyoruz X. Olumlu bir şey varsa gerçek Numarar öyle ki
E(etX) var ve herkes için sonlu t aralıkta [-r, r], o zaman anı üreten fonksiyonu tanımlayabiliriz X.Tanım
Moment üreten fonksiyon, yukarıdaki üstel fonksiyonun beklenen değeridir. Diğer bir deyişle, anı üreten fonksiyonun X tarafından verilen:
M(t) = E(etX)
Bu beklenen değer, Σ formülüdür. etxf (x), toplamın her şeyi devraldığı x içinde örnekleme alanıS. Bu, kullanılan örnek boşluğuna bağlı olarak sonlu veya sonsuz bir toplam olabilir.
Özellikleri
Moment üreten fonksiyon, olasılık ve matematiksel istatistiklerde diğer konulara bağlanan birçok özelliğe sahiptir. En önemli özelliklerinden bazıları şunlardır:
- Katsayısı etb olasılık X = b.
- Moment üreten fonksiyonlar benzersiz bir özelliğe sahiptir. İki rasgele değişken için moment üreten fonksiyonlar birbiriyle eşleşiyorsa, olasılık kütle fonksiyonları aynı olmalıdır. Başka bir deyişle, rastgele değişkenler aynı olasılık dağılımını tanımlar.
- Moment üreten fonksiyonlar, X.
Anları Hesaplamak
Yukarıdaki listedeki son madde, moment üreten fonksiyonların adını ve bunların kullanışlılığını açıklar. Bazı ileri matematik, ortaya koyduğumuz koşullar altında, fonksiyonun herhangi bir sırasının türevi olduğunu söylüyor M (t) ne zaman var olduğu için t = 0. Ayrıca, bu durumda, toplama ve farklılaşma sırasını t Aşağıdaki formülleri elde etmek için (tüm özetlemeler, x numune alanında S):
- M’(t) = Σ Xetxf (x)
- M’’(t) = Σ x2etxf (x)
- M’’’(t) = Σ x3etxf (x)
- M(N)’(t) = Σ xnetxf (x)
Eğer ayarlarsak t Yukarıdaki formüllerde = 0, ardından etx terim olur e0 = 1. Böylece rastgele değişkenin momentleri için formüller elde ederiz. X:
- M’(0) = E(X)
- M’’(0) = E(X2)
- M’’’(0) = E(X3)
- M(n)(0) = E(Xn)
Bu, belirli bir rastgele değişken için moment üretme fonksiyonu varsa, moment üretme fonksiyonunun türevleri açısından ortalamasını ve varyansını bulabileceğimiz anlamına gelir. Ortalama M’(0) ve varyans M’’(0) – [M’(0)]2.
özet
Özetle, oldukça yüksek güçlü bir matematiğe girmek zorunda kaldık, bu yüzden bazı şeyler göz ardı edildi. Yukarıdakiler için kalkülüs kullanmalıyız, sonuçta, matematiksel çalışmamız tipik olarak anları doğrudan tanımdan hesaplamaktan daha kolaydır.